资源描述：
《中考数学复习指导：考虑极端情形化繁难为简明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考虑极端情形化繁难为简明著名数学家华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”这就是所谓极端化数学思想.其意义在于将问题中复杂的数据简单化，抽象的字母具体化，般的图形特殊化.在实际解题教学中，若问题以选择题或填空题出现，只要对符合题设的数、字母及图形进行极端思考，可以把繁难的求解过程变得非常简明.一、数字极端化计算代例1当x分别取值丄一,」一,」一，丄，1,2,…，2011,2012,2013时,2013201220112I—x~数式「V的值，将所得的结果相加，其和等于()1+JT(A)-l(B)l(C)0(D)2013解法
2、1注意到=0,-即当％分别取值丄"5eN)时,此代数式值的和为0.因此各代数式的值之和为0.故选C.1_I2解法2注意到x=l时，1=0,其余2012对数都是互为倒数，而互为倒数的两1+12个数屮最特殊的两个数是1和1，不妨把除1夕卜，其余的2012对数都看成是1・1_I2因为x=l吋，1=0,则所得各代数式的值之和为0.故选C.1+12评注解法1抓住了问题的本质，将数字问题字母化，用字母运算代替数字计算，减少了计算量，体现了字母表示数的优越性.而解法2将数字极端化，把互为倒数的两个数都看成1,这样口算就能得出结论.二、字母极端化例2设实数x,y,z满足x+y+z=
3、0,且(x—y)2+(y—x)2+(x—z)2<2,则x的最大值为.解法1由x+y+z=0,得y=—x—z,将y=_x_z代入(X-y)2+(y一z)2+(Z-%)2w2,得(2%+z『+(-%-2z)2+(zp)2w2：整理，得6z2+6xz+6x2-2W0.•••z为实数，/.d=(6x)2-4x6(6x2-2)MO,整理，得9/w4,2一一22即X的最大值为彳.解法2不妨设兀•.•兀+y+z=0,则兀M0,zW0,・•・当/=z=--yx时,x最大.将7=z二-y-%代入9即X的最大值为二.评注解法1通过消元，将问题转化为含参数的一元二次不等式，然会再用判别式
4、求解，这是求解多元方程或不等式的通法，但讣算量较大.解法2将问题的条件极端化，从而将原问题直接转化为一个简单的一元二次不等式，大大减低了求解难度.三、点的位置极端化例3如图1,已知AABC的面积为24,点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF,四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()(A)3(B)4(C)6(D)8解法1因为卩4边形DCFE是平行卩L］边形，所以DE〃FC，且DC〃FE.连结CE,AF,如图1,VDE//FC,即DE//FB>・*.Sadeb=Sadec.所以原来阴影部分的血积等于AACE的面积，VDC//FE,即FE
5、//AC,・*.Saace=Saacf.VBC=4CF,Saabc=4Saacf.故阴彫部分的血积为6.图1图2解法2如图2,移动点D,使点D与点A重合，则原图中阴影部分的面积等于AABE的面积.由BC=4CF,AE〃CF且AE=CF,・Saabe=-Saabc,放阴影部分的面积为6.4评注解法1通过两次等积变形，把面枳不易计算的凹四边转化为与已知三角形相关的一个三角形，但耍添两条辅助线，一般学生不易看出.解法2把D点位置极端化，直接将问题变为为一个容易解决的问题.例4正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同吋出发，沿A—B—C—Df
6、EfA-…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上.解法1设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时，甲走400Y了400x米，乙走了46X—=368x（米）.50・・・368（x-l）+800一400（x一1）＞400,且（368x+800）—400xW400,・・・12.5WxW13.5,故x=13・此时，t==104.50所以，104分钟后，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.解法2因为正五边形ABCDE的周长为2000米，所以正五边形的边长为400米，设x分钟后，甲、
7、乙两人均在五边形的顶点，且第一次开始行走在同一条边上，则50x—46x=400,解得x=100・此吋甲走了5000米，因为5000宁400=12…200米，还有200米才到正五边形的一个顶点，2004-50=4（分）.又因为4分钟后乙还在这一边上，所以，104分钟后，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.评注解法1建立不等式模型，但一般学生解决不了，解法2先极端思考，解决一个特殊问题，再修正，这种思维方式要引起重视，它反映的是解决一类问题的策略，在解决与点有关的求值问题时，可以根据题目的条件，将点的位置移到线段的端点或图形的顶点,再对特殊图形或特殊位置的问题进行
