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1、一类二阶变系数微分方程的解小2黑体居中一>应用数学曹某某指导教师刘某某小4宋体居中>（广东惠州学院数学系2005级（1）班，广东惠州516007）（E-mail:cao??200@126.com）/摘要：木文主要讨论了-•类二阶变系数线性微分方程的求解问题，通过变量代换方法将二阶变系数微分方程化为Riccati方程，然后利用Riccati方程己有的结果，从而得出二阶变系数微分方程的解。（5号宋体）3号宋体加粗居中关键词：变系数微分方程；变量代换；Riccati方程（5号宋体）5号黑体1.引言二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。对常系数的线性微分方程
2、的通解结构，在一般的著作文山中有十分完美的讨论。（小4宋体）目前讨论比较多的是二阶变系数线性微分方程解的问题，但是对此类方程却无通用的求解方法。因此二阶变系数微分方程的求解问题一•直是人们感兴趣的研究课题，有不少的数学工作者总结了多种二阶变系数微分方程的求解方法（见文［2卜［12］）,其中刘琼在文⑵中讨论了方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x),(1.1)得到当系数满足q(x)=l[P("(x)+2P⑴],4时，则方程(1・1)有：X(/)=(Ci+C2°R⑴q加臥）—詁阳其中q,C2为常数。冯录祥，马骊娟在文［4］中得出了方程（1.1）若f（兀）=0口Ln（+p（x）+q
3、（x））=jq（x）dx,则方程（1.1）有通解：_f(p(A)+
4、c—4dxy=dx引理3文购对方程(1.2),若系数满足:2PU)则方程(1.2)可积且对应的通积分为:2J?2(x)Jxy二P(x)+；其中C为任意常数。木文主要利用变量代换方法将二阶变系数微分方程化为Riccati方程，利用Riccati方程已有的结果得出二阶变系数线性微分方程的解。木文讨论的是2.主要结论3号宋体加粗y"+P(x)y+Q(jc)y=O(2.1)（其中p（x）,e（x）是关于x的连续函数）这一类二阶变系数微分方程的解，主要有以下几个结论。y=P(x)y2+Px)-Px)由观察法可知y=PS)是方程(2.2)的特解令y=PO)+z(x)则令v(x)=ZI(兀)
5、代入方程(2.3)得v(x)=一P(兀)-2P2(x)v(x)(2.4)解方程(2.4)得将V（x）代入定理1若方程(2.1)的系数能够满足:所以-pC2e卜P(x))dx(2.8)其中G，C2为任意常数。当C2=0时,其中G'C?为任意常数。命题得证证明:令y'=-exu(x)y其中u(x)是新未知函数,方程(2.9)是一个关于u(x)的RiccaXi方程=e'(x)+Q(兀)u(兀)+)(2.10)因为QMx=eOO)?厂(2.10)满足引理2的条件，所以方程(2.10)可积且其通积分为y=0又因为),，=0是原方程的解,所以方程(2.1)的通解为其中C
6、,C2为任意常数。3.
7、例子3号宋体加粗例1：解方程y+丄y-丄歹=0兀%*■解pw=-,eu)=-4X对因为p(x)=(-)■=-丄二2(x)满足定理1的条件XX小4宋体加粗CG为任意常数)。C,C2厂=+Cocotxsinx〜例3解方程y"+(丄+2)y-(-+3)y=0XX解P(x)=丄+2,Q(兀)=一(丄+3)XXP(x)+Q(x)=-1致谢感谢刘老师在我完成论文过程中的悉心指导!4号黑体加粗5号宋体、参考文献«—"一—"—[1]王碳，周之铭等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社:30-48.[2]刘琼.'联二阶变系数微分方程的解[J].广西右江民族师专学报,2002,(06):
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