高中数学第二章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质学案新人教B版选修2

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1、2.2.2椭圆的几何性质KECHENGMUBIAOYINHANG课程目畅•1.掌握椭圆的几个性质.2.掌握椭圆的标准方程中臼，力，c,e的几何意义及其之间的相互关系.焦点的位置焦点在/轴上焦点在y轴上图形yra2片-boA标准方程范围顶点轴长长轴长为，短轴长为隹占八、、八、、焦距对称性对称轴为，对称中心为离心率,其中C=J1CHUZH1SH1SHULI焦点在/轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较:［名师点拨］(1)判断曲线关于原点，x轴，y轴对称的依据.若把方程中的/换成一山y换成一产方程不变，

2、则曲线关于原点对称.若把方程中的y换成一y,方程不变，则曲线关于以轴对称.若把方程中的x换成一乙方程不变，则曲线关于y轴对称.(2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点.22【做一做1-1］椭圆令+秩=1的长轴反为()936A.5B.3C.6D.12【做一做1—2］椭圆—+^-=1的离心率为尖破ZHONGDIANNANDIANTUPO椭圆的离心率剖析：⑴椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率.记作(2)因为$>c>0,所以离心率&的取值范围是0V&V1.离心率的大小对椭圆形状的影响：①当0趋近于1时，c

3、趋近于臼，从而〃=苗二K越小，因此椭圆越扁平;②当e趋近于0时，c趋近于0,从而力趋近于日，因此椭圆越接近于圆.椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0

4、出Q,才能正确地得111椭圆的有关性质.题型二利用性质求椭圆的方程/1【例2】已+y=1（^＞0,白H1）表示离心率为§的椭圆，求椭圆的标准方程.a2分析：椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由e=#即可求得.反思：在求椭圆的标准方程时，首先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后利用条件求出/本题所给方程屮的臼与椭圆标准方程屮的臼不同.题型三椭圆几何性质的应用【例3】己知椭圆的中心在原点，离心率为乎，尸为左焦点，M为右顶点，〃为短轴一顶点，求ZABF的余眩值.分析：已知离心率为半，即匚誓,即

5、a=4ic,再由昂b,c的关系可得b=c,在△初FZal、中，由余弦定理可求得结果・反思：知道离心率就知道日，b,Q中任意两个字母间的关系.SU1TANGLIANX!GONGGU1.椭圆6/+y=6的长轴的端点坐标为（B.(-6,0),(6,0)C.(—品0),(&,0)D.(0,一的,(0,^6)2.椭圆訂+寺=1与椭圆专+才=1有()A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不正确3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为右长轴长为12,则椭圆的标准方程是（）22A.#+#=146xyb・I+T

6、=12222C乂+丄=1或乂+丄=13632扌323622D兰+兰=132364.（2012•浙江名校联考，文9）已知戶是椭圆刁+7=1（日＞力＞0）上的一动点，且户与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为一g，则椭圆离心率为（A迪R返c1nyll222322/T75.己知椭圆^+-=1的离心率e=¥,则/〃的值为5m51.椭圆过点(3,0),离心率e=乎，求椭圆的标准方程.答案：基础知识•梳理xyyx1.飞+卞=1(日＞力＞0)r+7?=1(日＞力＞0)—日WxW日，—bWb—mWjWm,—abab'bWx

7、Wb4(一/0),4g0)E(0,—方)，3(0,6)A,(0,一日)，J2(0,a)$(—力0),B＞(b,0)2n2b(±c)(0,±c)2c(c=/—Z?2)x轴，y轴原点e=~^(0,1)ayja—b【做一做1—1】D椭圆的长轴长为2日，由方程可知日=6,所以2日=12.4【做一做1-2]-典型例题•领悟22【例1】解：将椭圆方程变形为訂+金=1,由方程知已=5,力=4,所以q=3,所以反轴氏为10,短轴长为&Q3离心率6＞=-=三，焦点坐标为月(0,-3),尺(0,3),顶点坐标为/U0

8、,—5),力2(0,5),ao3(—4,0),2(4,0).【例2】解：当焦点在％轴上，即曰＞1时，(1由方=1,得c=y/h,所以=3，4解得/=§,3r2所以椭圆的标准方程为〒+#=1；当焦点在y轴上，即0＜白＜1吋，由题意得所以年解得孑諾，4,所以椭圆的标准方程^J—+y=l.【例3】解：设长轴长为鮎，短轴长为2方，焦距为2c,则有'=¥，即a=y[2ct6?厶又T6=a—c,/•b=c,/.

9、AB=、!<+用=£c,

10、BF=&=£c,AF