浅谈矩阵乘法

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1、2011〜2012学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与儿何（1）课程编号：论文题目：浅谈矩阵乘法作者姓名：学号：成绩：论文评语：评阅人：评阅日期：浅谈矩阵乘法【摘要】本文通过对矩阵乘法的解读，对一般矩阵乘法，Hadamard乘积，Kronecker乘积，三种矩阵的乘法进行较为详细的介绍，主要是用来增强对矩阵乘法的理解，从而对线性代数这门课程有更深入的了解。【关键字】矩阵乘法Hadamard乘积Kronecker乘积一•弓I言矩阵作为一个全新的概念，我们经常拿它与实数，向量等较为熟悉的概念进行

2、类比，故而在探讨短阵的运算的时候也不例外。但是，虽然矩阵的加法，减法的法则符合我们的习惯，即与我们之前学习过的加减法较为相近，但是，在所冇的矩阵运算中，矩阵乘法的法则却是最不符合我们的习惯的，掌握的难度也最大,但它却也是最重要的。在本文中，我们将依次对一般矩阵乘法，Hadamard乘积，Kronecker乘积三种较为常见的矩阵乘法进行介绍，包括定义，运算性质，应用，推广等多个方面。二•一般矩阵乘法1•定义对任意正整数m/,p,任意的数域F,任意的矩阵A=（aij）tnxneFn,xn和B=（妇计

3、e可以相乘，得到的乘积AB是一个加xp矩阵AB=它的第0；j）7G%=工5如=5如+ai2b2j+…+ainbt."1对于矩阵的乘法需要注意如下事项：（1）并非任意两个矩阵4,B都可以相乘。A,B可以相乘的条件也与它们可以相加减的条件不同。可以相乘的条件是：4的列数与B的行数相等。（2）的乘法法则可以这样来理解：n维的行向量4=（%…,％）丘尸"与“维列向量0二；的乘积是一个数，等于Q丿与0的相应位置的元之积之和：%、（纠,…％）:=+a2b2+•-+altbn任意加X〃矩阵A与心卩矩阵B相乘，

4、将4的第j行与〃的第丿•列相乘得到的数作为第仏J)元(l

5、eFpxm,CeFqxp成立。证明：设A=（知扁，B=（切）卩枷,C=（讥“则BA=D=（dy）p“，其中%=£bikakjk=从而C（BA）=CD=G=（幼扁其中PPmgij=工5血=工务（工錶兔）=X也叫（1）5=1f=lk=另一方面，CB=U=（叫）计,其屮uu=s=从而（CB）A=UA=H=（%）q“其中加mp（EMQ%二Z也叫⑵R=1k=s=i

6、任意使运算有意义的矩阵A,B及任意数2成立。②乘法对于加法的分配律：A(B+C)=AB+AC与(冋+CJA=妨A+C}A对任意使运算有意义的人B,C,B,,G成立。3•矩阵乘法的來源和意义①线性方程组的简洁表示角內+42兀2+•••+%,£二勺/对线性方程组吠+讣+…+讣"2若令「•••,,,1an匕內+%2兀2+・・・+色后=bnb=；则此方程组借助矩阵乘法便可记为：Ax=b如果矩阵A是可逆的，则有：x=A~lb,这与普通的一元一次方程ax二b,无论在形式上，或解法上都得以统-。此外，在解

7、析几何中，平面上的二次曲线和空间中的二次曲面，其方程的化简和分类，皆可借助矩阵的乘法得以简捷又统一的处理。②接连变换的关系在平面解析儿何中，常用到坐标旋转，设X轴绕原点旋转A(如图)，则新心坐标的关系是:Vy'=-xsa+ycosa"cosasina'(X即1=■◊丿(一sinacosa丿再将X’轴旋转0角,则又有ffcos0+y'sin0yn=-xfsin0+y'cos[i即cos0j-sinpCOSP_sinPsinpcosPcosa八一sinasina(xCOSQ八y丿sinpxCO

8、S0八y连接两次旋转的结果，用矩阵的表示代换，则得(X丿cos0sin&+sin/3cosa-sin/?sin«+coscos«cos0cosq-sin0sinq、一sin0sina-cos0sin&即COS(Q+0)、一sin(a+”)sin(a+0)、cos(q+0)丿这正与用原坐标变换式代换的结果是一致的，而用矩阵乘法表岀，不但简便，而且适用面也广。①消元过程运算化在解线性方程组时，我们常用的三个同解变换(1)交换两个方程；(2)用一个不为0的常数乘方程的两端；(3)将一方程乘以常量加