数学分析（三）试卷1

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1、数学分析(三)试卷1一叙述题(每小题10分，共30分)fsf(x,y)dx一致收敛的Cauchy收敛原理。2.叔述Green公式的内容及意义。3.叙述n重积分的概念。二计算题(每小题10分，共50分)1.计算积分/=总;：f,其屮C为椭圆2x2+3y2=1,沿逆时针方向。2.已知z=f(xz,z-y其中/(w,v)存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z关于的二阶偏导数。2223.求椭球体厶+'+二=1的体积。a2b2c24.若/为右半单位圆周，求\ycls.5•计算含参变量积分1(a)=£(l-2acosx+a2)

2、dx(a<1)的值。三讨论题(每小题10分，共20分)1.若枳分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分対参数的已知值一致收敛。试讨论积分T_严adx在每一个固定的。处的一致收敛性。2.讨论函数F(y)=fyT—dx的连续性,其屮/(兀)在［0,1］上是正的连续函数。J)答案一叙述题(每小题1()分，共3()分)f8fx,y)dx关于y在［c,d］上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的£>0,存在与y无关的正数A。，使得对于任意的AA>Ao,

3、£f(x,y)dx<£,yg［c.d］成立。2.Green公式：设Q为平

4、面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数P(x,y),2(x,刃在D上具有连续偏导数，那么JPdx+Qdy=-甞)dxdy,odd&x其中刃)取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类

5、11

6、线积分的关系。1.设Q为/?"上的零边界区域，函数u=/(%)在G上有界。将。用曲而网分成斤个小区域AQpAQ2,...,AQzj(称为。的一个分划),记为•的体积,并记所有的小区域40』勺最大直径为兄。在每个40,上任取一点无，若2趋于零时，和式/=1的极限存在R与区域的分法和点

7、兀•的取法无关，则称/(x)在Q上可积，并称此极限为/(兀)在有界闭区域。上的〃重积分，记为Q'iT二计算题(每小题10分，共50分)1.解令I:x=——cosr,y=—sinr,贝ij32xdy一ydx3,+4y22.解令u=XZ,v=Z-则d2zdu8z8vdz—=z+兀—，—=—，dxdxdxdx匹=绥色+型空dx8udxdvdxd2z.dudzdvdz.—=x—,—=1•dydydydy业_Qfdudfdvdydudydvdy2df82ud2f(du>tt—dudx2dir(fix)62zdf82udy2dudy2a

8、2/pvYdv2兀丿2rduy"6u、.Sf82v(d2f（创）6丿GJ++advdxdydv^。丿d2z=dfd2ud2fdxdydudxdydu2Sv21彷丿d2f(8u^5w2U-V>dfd2ud2f(du^2du8x2du2I6xdfd2vd2f(dvovdx2dv2vSx=.y2z}td2fdudx+Xdx2)8z)z+X—dx)丿df(82z}d2f(dzdv2(dr丿dvIdx、2d2zdfd2ud2f7=7H7dy~6udy~dirduB)I®空+dvdy~2+5v2l込dfd

9、d2f(dzdvdy2dv1

10、(労d2z_dfd2ud2fduYdudxdydudxdydirIQx人dy丿dvdxdydvdf(dzd2z}d2fFXHdu(dydxdy丿du(Oz、z+x—dzx—/fix人dy82fdz(dzdv2dxdy)由于对称性,3.作广义极朋标变换ov6丿l勿丿/"、2-1、-/d2l2dvdxdy、7只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。x=arcos0,y=brsin0(tz>0,&>0,0

11、abr,于是=JJz(x,y)dcrn,=JJz(r,6>)DU,y)DZdrdOr2-abrdr—彳abc[rVl-r~dr=—abc(一丄Jl_厂$)d(l-r2)22所以椭球体积71V=—mbco31.解/的方程为：x2+y2=l,x>0o由yr=--yx2+y2dx=±^y符号的选取应保证dsno,在圆弧段AC±,由于dx>0,故dsdx而在圆弧段CB±,由于dx<0,故ds所以dxy

12、,hr2.解1(a)=£ln(l—2acos兀+/)dx。当”vl时，由于1—2dcosx+tz~ni-2g+g~=(1-”

13、)~〉0

14、,故ln(l-2QCOSX+/)为连续函数目具何连续导数，从而可在积分号下求导。lXa)=”一2cosx+2qf-dx)1-2qcosx+6T(211d一11H亍(1-2acosx+a丿dx7t-a2aa」)(l+(72)-2^7cosxdx7iI-a2『o0(1+/」］