[汇总]高中数学必备

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1、2010高考数学一一压轴题1.(木小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意nna,证明f'n+i(n+1)<(n+1)fn'(n)解：⑴fn'(x)=nxn_1-n(x+a)n~1=n[xn_1-(x+a)n_1],Va>0,x>0,・・・fn'(x)v0,・•・fn(x)在(0,+8)单调递减.4分(2)由上知：当x>a>0Iht,fn(x)=xn-(x+a)n是关于x的减函数

2、，/.当nna时，有：(n+1)n-(n+1+a)nn“一(n+a)n.2分又•••f'n+i(x)=(n+1)[xn-(x+a)n],Af'n+i(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]<(n+1)[nn-(n+a)n]=(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n_1]2分(n+1)fn'(n)=(n+1)n[nn_1-(n+a)n_1]=(n+1)[nn-n(n+a)n_1],2分T(n+a)>n,Af'n+i(n+1)v(n+1)fn'(n).2分2.(本小题满分12分)己知：y

3、=f(x)定义域为[-1,1],且满足：f(-1)=f(1)=0,对任意u,v[-1,1],都有

4、f(u)-f(v)

5、W

6、u-v

7、.(1)判断函数p(x)=x2-1是否满足题设条件？(2)判断函数g(x)=j1+%，%G[~1^],是否满足题设条件？I1-x,xg[0,1]解:⑴若u,v[-1,1],

8、p(u)-p(v)

9、=

10、u2-v2

11、=

12、(u+v)(u-v)

13、,31取u二三[-1,1],v=-[-1,1],42贝Ij

14、p(u)-p(v)

15、=

16、(u4-V)(u-v)I=-

17、u-v

18、>

19、u-v

20、,4

21、所以p(x)不满足题设条件.(2)分三种情况讨论：1°.若u,v[-1,0],则

22、g(u)-g(v)

23、=

24、(1+u)-(1+v)

25、=

26、u-v

27、,满足题设条件;2°.若u,v[0,1],贝^^(u)-g(v)

28、=

29、(1-u)-(1-v)

30、=

31、v-u

32、,满足题设条件；3°.若u[-1,0],v[0,1],则:

33、g(u)-g(v)

34、=

35、(1-u)-(1+v)

36、=

37、-u-v

38、=

39、v+u

40、W

41、v-u

42、=

43、u-v

44、,满足题设条件；4°若u[0,1],v[-1,0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条

45、件.1.(木小题满分14分)已知点P(t,y)在函数f(x)=—(x一1)的图象上，且有t2-c2at+4c2=0(c0).x+1(1)求证：

46、ac

47、4;(2)求证:在(-仁+8)±f(x)单调递增.(1)(仅理科做)求iiE：f(

48、a

49、)+f(

50、c

51、)>1.证:(1)VtR,t-1,:.A=(-c2a)2-16c2=c4a2一16c2c0,/.c2a216,「•lac

52、4.⑵由心)亠占法1•设—1

53、1vvX2,••一X2v0,Xi+1>0,Af(x2)-f(x1)<0,即f(x2)-1时,f(x)单调递增.(3)(仅理科做)Vf(x)在x>—1时单调递增,

54、c

55、4

56、a

57、旦+

58、a

59、+l4

60、a

61、+4

62、a

63、4+

64、a

65、+4

66、a

67、+4

68、a

69、+4=1.即f(

70、a

71、)+f(

72、c

73、)>1.2.(本小题满分15分)设定义在R上的函数f(x)=aQx4+坷兀'+a2x2+a3x+a4(其中qeR,i=0,1,2,3,4),当2x=-1时，f

74、(x)取得极大值一,并且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.(1)求f(X)的表达式;(2)试在函数f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间—>/2,>/2J上(3)若儿=血；：3)(hwN.),求证:

75、/(xj-/(y„)

76、<

77、.解：(1)/(x)=—x3-%.5分((逅、(2)(0,0),>/2,或(0,0),—/2,—10分/7(3)用导数求最值，可证得

78、/(x„)-/O;)

79、<

80、/(-l)-/(l)

81、<

82、.……15分1.(本小题满分13

83、分)设M是椭圆C令+汁1上的…点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,N为椭圆C上异于M的另一点，且MN丄MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.解：设点的坐标A/(xpy!),N(x2,y2)(x{y}hO),E(x』),则P(—K,X),0(-兀i，-开),T(知一X),1分亠+亠=1,124兰+丄1.1124由(1)—(2)nJ*得％=_6分乂MN丄MQ,kMN-kMQ=-l,kMN=-工所以匕=召・X3西直线QN的方程