高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质达标训练新人教A版选修4-1

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1、四弦切角的性质更上一层楼基础・巩固1如图2-4-8,AB是半圆0的直径,C、D是半圆上的两点，半圆0的切线PC交AB的延长线于点P,ZPCB二25°,则ZADC为（）A.105°B.115°D.125°C.120°图2-4-8思路解析:连结AC,构造出夹圆周角ZADC所对弧的弦切角，即ZPCA,而ZPCA显然等于ZPCB加上一个直角，由此即得结果.答案:B2如图2-4-9,AB是00的直径，EF切00于C,AD丄EF于D,AD二2,AB二6,则AC的长为（）思路解析:连结BC,构造出弦切角所对的圆周角，由己知有△"）（：与AACB相似，所

2、以可得AV）AT—,代入数值得关于AC的方程.ACAB答案:c3如图2-4-10,AB是00的弦,CD是经过00上的点M的切线.图2-4-10求证：⑴如果AB〃CD,那么AM二MB；(2)如果AM=BM,那么AB〃CD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用，如笫(1)题，由平行得ZB=ZDMB,由弦切角得ZDMB=ZA,于是有ZA=ZB.证明：(1)CD切O0于M点，.ZDMB=ZA,ZCMA=ZB.VAB/7CD,ZCMA=ZA.・•・ZA=ZB..*.AM=!B.(2)VAM=BM,AZA=ZB.TCD切

3、00于M点，AZDMB=ZA,ZCMA=ZB.・・・ZCMA二ZA.・・・AB〃CD.4如图2-4-11,四边形ABED内接于(DO,AB〃DE,AC切(DO于A,交ED延长线于C.求证：AD:AE=DC:BE.图2-4-11思路分析：求证成比例的四条线段正好在两个三角形AACD和AABE屮，所以只要证明AACD^AABE即可.证明：•・•四边形ABED内接于圆，・・・ZADC二ZABE.・・・AC是00的切线，・•・ZCAD二ZAED.・.・AB〃DE,・・・ZBAE=ZAED.・・・ZCAD二ZBAE.•••△ACDs/ABE.AA

4、D:AE二DC:BE.综合・应用5如图2-4-12,P为(DO的直径CB延长线上的一点，A为00±一点，若恳二忑，AE交BC于D,且ZC=-ZPAD.2AL图2-4-12(1)求证：PA为O0的切线；(2)若ZBEA=30°,BD=1,求AP及PB长.思路分析:对于(1),A已经是圆上一点，所以可以连结0A,证明PA与0A垂直；对于(2),将ZE利用圆周角定理转移到RtAODA和RtAOAP屮，解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.A(1)证明：连结AO,VAC=(：E,BC为直径，・・・AE丄BC,AD二DE,农二BI)••・・0A二

5、OC,・・・ZC二Z3.・・・Z1二2ZC.又VZC=-ZPAD,AZ1=Z2.2・.・Z1+Z4二90°,・・・Z2+Z4二90°.APA1OA.・・・PA为00的切线.(2)解：在RtAEBD中，JZBEA=30°,BD=1,ABE=2,DE二JL在RtAODA和RtAEBD中，Z4=90°-Zl=90°-2ZC=90°-2ZE=30°二ZE,Z0DA=ZBDE,AD=ED,ARtAODA^RtAEBD.・・・AD二DE二馅，OD二BD二1,0A二BE二2.在RtAOAP中，TAD丄OP,.-.AD=OD・DP,E

6、J(V3)2=1・

7、DP.・・・DP=3.・・・BP=2.在RtAADP中，根据勾股定理，得AP=7aD2+DP2=7(^)2+32=2^3.6如图2-4-13,已知C点在(DO直径BE的延长线上，CA切00于A点，ZACB的平分线CD交AE于F点，交AB于D点.⑴求ZADF的度数.⑵若ZACB的度数为y度，ZB的度数为x度，那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.（3）若AB=AC,求AC:BC.思路分析：（1）中rflAC为切线可得ZB=ZEAC,由CD平分ZACB可得ZACD=ZDCB,根据三角形外角定理，得到ZADF二ZAFD,建立等腰

8、三角形，再由顶角求底角；（2）中则利用三角形内角和定理得到方程，获得关系；（3）中求线段的比值，利用△ACE-AABC可得.解：（1）TAC为00切线，.ZB=ZEAC.•「CD平分ZACB,AZACD=ZDCB.・•・ZB+ZDCB=ZEAC+ZACD,即ZADF二ZAFD.TBE为OO直径,AZDAE=90°..ZADF=-(180°-ZDAE)=45°.2(2)VZB=ZEAC,ZB+ZBAC+ZACB=180°,.•.x+90+x+y=180.Ay=90-2x.V0

9、0-2x,其中x的取值范围是0