高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段互动课堂学案新人教A版选修4-1

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1、五与圆有关的比例线段互动课堂重难突破一、相交弦定理2.定理的证明：如图2-5-1,已知00的两条眩〃相交于圆内的一点只求证：必・PB=PC・PD.证明：连结血则由圆周角定理有Z〃二ZC又、：乙BPD二上CPA,:、'APCs:.PA:PD=PC：PB,即丹•朋=PC・PD.当然，连结力〃、腮也能利用同样道理证得同样结论.3.由于在问题的证明中，的弦肋、〃是任意的，因此PA・PB=PC・//成立，表明“过定圆内一定点"的弦，被”点分成的两条线段2的积应为一个定值”•虽然过定点"的弦有无数多条，然而在这众多的眩中有一些长度比较特殊的弦，如过点P的最长或最短的眩,通过它们可以找到定值.图2-5

2、-2如图2-5-2（1），考察动弦個若朋过O0的圆心Q则初为过点“的最长的弦，设O0的半径为斤，则丹•丹=（/?—〃）（斤+莎）.如图2-5-2（2）,考察过点P的弦中最短的弦,昇〃为过O0内一点P的直径，（刃为过点P且垂直于〃的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有PA・PB=PC・PD=（丄CD）2=0120卩=就一0卩.由于00是定圆，戶为00内一定点，故00的半径斤与〃的长为定值.设0P=dy比较上述两式，其结论是一致的，即丹•陽=（介/）（斤+R）二#-/,为定值.于是,相交弦定理可进一步表述为：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距

3、离的平方差.定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点"的位置有关，对圆内不同的点2—般来说,定值是不同的，即这个定值是相对于定点P与定圆。而言的.同时，由第二式可直接得到相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例屮项，即pC=iM=pa・PB.二、割线定理与切割线定理1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例屮项.图2-5-33.符号语言表述：如图2-5-3,PA・PB=PC・PD=P#4.定理的证明：

4、连结EC、ED,由于加为切线，所以乙PE8乙PDE.又因为乙EP8乙EFQ,于鬼'PECs'PDE,因此有储：PC=PD：PE,即P庖二PC・PD.同理，有P^PA・PB,所以PA・PB二PQ・PD.5.应注意的两点：（1）所有线段,都有一个公共端点*而另一端点在圆上；（2）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.三、切线长定理1.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长•切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部2.切线长定理:从圆外

5、一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.图2-5-43.切线长定理及其应用：因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.如图2-5-4,PA./另是00外点戶向圆作的两条切线,切点为A.B,那么有PA二PB,ZOAP=Z0BP.4.由切线长定理，可以得到圆外切四边形的一个重要性质：圆的外切四边形的两组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.四、刨根问底问题1相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似，定理中都涉及到两条线段的积相等，那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定

6、具体数值吗？探究:相交眩定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幕定理，圆幕定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）•两条线段的长的积是常数PA・PB=k—d,其屮〃为定点"到圆心0的距离.若"在圆内，dR,则该常数为使用吋注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点.在实际应用屮，见圆屮有两条弦相交想到相交弦定理;见到切线与一条割线相交则想到

7、切割线沱理;若有两条切线相交则想到切线K定理，并熟悉此时图形小存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.问题2与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性质等若干内容，大都是综合性的问题，那么通常我们怎样证明这些比例式？在证明时有什么诀窍吗？探究:与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似形的综合，其证法大致可分以下儿种：(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比