高中数学第一章统计1.8最小二乘估计教案北师大版必修3

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1、§8最小二乘估计整体设计教学分析教科书通过思考交流引入了最小二乘法，进一步提出了线性回归方程，在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中，向学生展示创造性思维的过程，帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考，使同学们了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程，体会线性回归方程作岀的预测结果的随机性和并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.

2、重^点则^点教卒重丄：求线性冋归方程，以及线性回归分析.教学难点：确定线性回归系数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1•客观事物是相互联系的，过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说.事实上，数学成绩和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系一一相关关系.为表示这种相关关系，我们接着学习两个变量的线性相关一一回归直线及其方程.思

3、路2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖岀热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/°C261813104-1杯数202434385064如果某天的气温是一5°C,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题，我们接着学习两个变量的线性相关一一回归直线及其方程.推进新课新知探究提出问题1.画散点图的步骤是什么？2.正、负相关的概念是什么？3.什么是线性相关？4.观察下面人体的脂肪含量百分比和年龄的散点图，当人的年龄增加时，体内脂肪含图15.什么叫作回归直线?6.如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？7

4、.利用计算机如何求线性回归方程？活动：学生回顾，再思考或讨论，教师及吋提示指导.讨论结果：1.建立相应的平面直角坐标系，将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图.2.如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关.3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关的关系.4.大体上来看，随着年龄的增加，人体屮脂肪含量的百分比也在增加，呈正相关的趋势，我们可以从散点图上来进-步分析.5.从散点图上可以看出，这些点大

5、致分布在通过散点图屮心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.6.从散点图上可以发现，人体的脂肪含量百分比和年龄的对应点，大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.那么，我们应当如何具体求出这个回归方程呢？有的同学可能会想，我可以釆用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点

6、与它的距离,然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就可得到回归方程了.但是，这样做可靠吗？有的同学可能还会想，在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地，这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？还有的同学会想，在散点图屮多取几组点，确定出几条直线的方程，再分別求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行？（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同.

7、3.多収几组点对，确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如脂肪含域/%20253035404550556065年龄/岁图4上面这些方法虽然有一定的道理，但总让人感到可靠性不强.实际上，求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究，己经得出了计算冋归方程的斜率与截距的一般公cKF1+疋乃XnYn—nxy式<彳+境x—nx2①—,——为+/2Xn—yi+j勺Yn^=y-bx•其中'x='•这样得到的直线方程y=

8、a+bx称为线性回归方程，臼，方是线性回归方程的系数.推导以上公式的计算比较复杂，这里不作推导.但是，我们可以解释一下得出