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1、高中数学知识点易错点梳理函数图像及其变换C3•函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数y=/(x),若存在常数使得函数定义域内的任意x,都有f(a+x)=f(b-x),则函数y二f(x)的图像关于直线x=-对称.2【特例】，当d=b吋，/(«+%)=f(a-x)<=>f(x)的图像关于直线x=a对称.性质2：对于函数y=/(x),若存在常数使得两数定义域内的任意尤，都有-f(a+x)=f(b-x)of(x)的图像关于点(―—,0)对称.2【特例】:当a=b时,f(a+x)=-f(a-x)/(x)的图像关于点(a,0)对称.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3
2、：设函数y=/(x),如果对于定义域内任意的工，都有f(a+mx)=f(b-mx)(Q,b」neR,且加工0),则y=f(x)的图像关于直线x=°"对称.(这实2际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数y=/(x),如果对于定义域内任意的工，都冇f(a+mx)=-f(b-mx)(a.b.mg/?,且加工0),则y=f(x)的图像关于点(,0)对称•(实际2上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件函数关系式(XGR)对称性f(X)=-/(-X)函数f(x)图像是奇函数/(兀)=/(-兀)函数/(兀)图像是偶函数f(x)=f(2a-x)或/(a+尤)=f(a一x)
3、函数/(兀)图像关于肓线X=6/对称fW=2b-f(2a-x)或/(a+x)=2b-/(d-x)函数/(%)图像关于点P(a,b)对称(2)两个函数图像之间的对称性1.函数〉yfM与汁-f(x)的图像关于直线y=0対称.2.函数y=/(兀)与歹=f(-x)的图像关于直线x=0对称.3.函数y=/(x)与y=-/(-兀)的图像关于原点(0,0)对称.b_a4•函数y=f(a+mx)与y=f(b-mx)的图像eR、m$0)关于直线x=对称.2mh—(i特别地，函数)丿=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线兀=对称.2(2010江苏卷5)设函数f(x)=Xev+6zev)(xGR)是偶函数
4、，则实数a=-C4•几个函数方程的周期(约定“h0)⑴若/(x)=/(x+d),或/(x+-)=/(x--)»则/(X)的周期T=a；22⑵若/(x)+/(x十a)=0,或/(x+q)=_，或/(^4-—)--f(A*——)»或1+f(x)22f(x+a)=f(x-a),或f(x+a)=±(/W#0),则f(x)的周期T=2a;/(A)【说明】函数y=/(X)满足对定义域内任一实数X(其中d为常数)，都冇等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件來证明.C5•对称性与周期性的关系(可与三角函数类比)定理1：若定义在心上的函数/⑴的图像关于直线“a和x=b(a^h)对称，则/(兀)是周期函数
5、，且2a-b是它的一个周期.推论1：若函数/(%)满足/(«+%)=f(a-x)及/(/?+%)=f(b-x)(a^b),则f(x)是以2a-b为周期的周期函数.定理厶若定义在R上的函数/(x)的图像关于点(a,0)和直线x=b(心b)对称，则f(x)是周期函数，月.4
6、a—切是它的一个周期.推论2：若函数/(x)满足f(a+x)=-f(a-x)Rf(b+x)=-f(b-x)则./3是以4a-b为周期的周期函数.定理3：若定义在R上的函数.心)的图像关于点@,儿)和9,儿)(心方)对称，则/⑴是周期函数，R2a-b是它的一个周期.推论3：若函数/(x)满足/(a-x)+f(a
7、+x)=2yQ及f(b-x)+/(&+x)=2y0(a#b),则fM是以2a-b为周期的周期断数.C6.1、若函数〉，=/(兀+a)为偶函数，贝ij函数y=/(x)的图像关于宜线x=a对称.2、若函数＞=fx+a)为奇函数，贝ij函数＞=/(%)的图像关于点@,0)对称.3、定义在7?上的函数/(兀)满足f(a-x)=f(a+x)f且方程/(%)=0恰有加个实根，则这2斤个实根的和为2/7°.C7•关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数y=/(x)在区间(0,+8)上是递增的，那么函数y=/(x)在区间(-8,0)上也是递增的；②如果偶函数y=/(X)在区间(0,+呦上是递增的，那么函
8、数y=/⑴在区间(-8,0)上是递减的；Cll・函数图像变换(主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等)・1•平移变换(1)函数y=f(x+a)的图象是把y=f(x)的图象沿兀轴向左(a>0)或向右(av0)平移a个单位得到的.(2)函数y=f(x)+a的图象是把)于(兀)助图象沿y轴向±(a>0)或向下(a<0)平移a个单位得到的2•翻折变换(1)llly=f(x)得到y=1f(x)I,就是把y=f(
