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《极值点偏移问题一种求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、极值点偏移问题的一种求解策略导数是研究函数的利器，使得硏究函数单调性和最值的方法更加丰富。极值点偏移问题不仅具有一定的探究意义，而且能充分地考查数学思想方法，运算求解能力，更能很好地彰显学生综合应变与解题调控能力，从而备受命题者的青睐。所谓极值点偏移问题，也称为对称问题，准对称问题.指的是已知函数/（X）是连续函数,/（x）在区间（兀，xj内只有一个极值点心且/（xj于（兀）・不少极值函数由于极值点左右的增减速度不同，函数图象不具有对称性,常常有极值点兀）工号2的情况.这就是极值点偏移问题。对于此类问题，解题方法灵活多样，仁者见仁，智者见智。笔者于长期的教学实践中探索了一些解决规律，现说明
2、如下。要证兀+・丫2>2O证xx+x22即巴于1〉1得证.【例1］已知函数f(x)=xe'设X］打2，/(旺)=/(兀2),证明X,+x2>2.证明:xwR(x)=(I-x)e_Y,令/(x)=0,得x=l./(x)在(Y，l)上递增，在(1，+切上递减.旺<1V%2,贝1」兀2一1>0,2-兀2<1・构造函数F(x)=f(Ux)-f(l-x)1x>0.即F(x)=e^x+xe^x-e^x-pxe^x,F(x)=x(e_,+x)>0在(0,+8)恒成立.故F(x)在(0,+oo)单调递增,F(x)>F(0),所以F(x)>0.则/(l+x)>/(17),x>0.用花-1代替x可得/(1+
3、(-V2-l))>/(l-(x2—1)),即fM>f(2-x2))>/(2-x2).由/(X)在(一8,1)上递增，有X］>2-x2,思路分析:本题实际上是证明号>1，是极值点左偏的问题(1是极值点)•求解步骤如下：1.考查/(X)的单调性.2.假设X]<1。2,贝忆一1>0,2-X?<1.3.构造函数F(x)=/(l+x)-/(l-x),判断出F(x)>0,即/(l+x)>/(l-X).4.用x2-代替x,得/(x2)>/(2-jc2)，转化为/(x,)>/(2-x2).5.结合/(x)的单调性，得到结论.•<訥咳字踏研虑也⑷'血【例2】已知函数/(x)=£q证明当1IXX]Hx2时,
4、X
5、+x2<0.证明：XG/?,/⑴二匸三严'一2y+3)./(x)在(0,+oo)上单调递减,/(x)在(-◎())上单调递增.要证旺+吃<0o证互尹<0.如图⑵所示，不妨设X]<0<七,则一兀2<0・图⑵构造函数F(x)=/(0+x)—/(0—x),x>0・即f(x)=上二丄孚严,x>0.下证F(x)<0.+x21+P要证F(x)<0o证-_ex一■-ev<0o证71+jt1+f,x>0.(1-x)e'一卑v0.记g(x)=(l-x)e'一芈显然g(x)=(-xb’C'_1)V0在xw(0,+oo)上恒成立即F(x)<0,因此有/(x)0.用X2代替x,得/(X2)
6、
7、)
8、<0<兀2,则一兀2<0・3•构造函数F(x)=/(0+x)-/(0-x)，判断出F(x)<0，即/(x)v/(—x)・4.用兀2-0代替X,得/(兀2)V/(-兀)，转化为/(E)V/(-兀2)・5结合/⑴的单调性，得到结论.【例3】设函数f(x)=ex-ax+a,其图象与x轴交于J(xrO),^(x2,O)两点，证明：/(Jx“2)<0・证明:xwR、j
9、(x)=ev-6/,/(x)在R上递增•当^<0时,/(x)>0恒成立，故/(Q在R上单调递增,不符合题意.当q>0时，令/(x)=0,得x=lno./(x)在(-8,Inc)上递减，在(In67,+oO)±递增.要证/(血忑)<0o证f(7^7)0,21nt7-x2<]na.构造函数F(x)=/(lna+x)-/(lna-x),x>0.即F(x)=a(护-厂-2x).了同中致字器型研究主力知朋心显然F(x)=G(，+€'-2卜
10、0在(O,+8)恒成立.故F(x)在(0,+oo)单调递增，F(x)>F(O),所以F(x)>0.则/(112+x)>/(lnd_x),X>0・用兀一12代替X可得/(In67+(x2-ln^))>/(l门67_(心_1叱))・即/(七)>/(21叱-X2),故/(xj>/(21na_x2).由/(x)在(YO,1M)上递减，有X
11、<21na—X2,即出Qvlg,得证.思路分析:本题表面上是证明/(/花)<0,实际上是证
