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1、关于町=1+2甘+・・"计算公式的初步研究作者：龚飞涛一、研究结论设S；=1+2"+3"+…+卅，kwN,k为V常数，S：简写为为。那么由此，我们可以得出三个结论：1)片可以表示为sn=x()+x[^n+x2^n2+x^n3+••・+xk+i•nk+[，其中兀0，西，•…，兀r+i为待定常数，并一几兀0=°。k+2C.加+丿+1.「殳一加+1°j・W2・・・J-lJ+l,・・*+22)©吃(j-!)!•(/:-J+2)!其中加=0,12…M+l。J=1二、研究过程(1)首先，我们需要研究一下缺行的范徳蒙徳行列式。为了便
2、于讨论和计算，我做岀这样的规定：从兀1，尢2,兀3,…，百中选出m个元素，每个元索不能重复选择，并把这m个元素相乘，我们把这个乘积称为一个组合，则我们用Cmc01227表示所有同类组合的总和,并规定C“,X2,…心=]'其中n>m>o.例如:C；,尢2,七=1；C；,兀2，七=x[+x2+x3C：”2也=兀]•兀2+兀j兀3+兀2•兀3；C；,“3=坷•兀2•勺•①当范德蒙德行列式缺少第一行时，其一般形式表示为:Dl构造辅助行列式Di，且x2由行列式按列展开法则得Q=（-1）（1+"+1）•Mi（卄J=(-1)(叫2
3、斗X2我们发现是范徳蒙徳行列式,・・•有:n(兀(j)E•2=(i)"•坷•兀2…E•/?>/>J>1・・2=(-1)E)・(—】)"•XiF…n>i>j>(xi-Xj=(j)SQ•兀1•兀2…兀八nU--x.n>i>j>"if叫7・恶—勺②当范德蒙德行列式缺少第k+i行时，并nk>if其一般形式表示为:••X2•••••••X2~1•••X时+1•••••••X•时7•X厂1•••Xk-1nk+1nX；n-In构造辅助行列式且11•••1兀1••••••■■■■■■」一1」一1」TX]•••心十k十k十k心x2
4、•••Xn」+1」+1」+1兀2•••n•■■■■■■■•X]x2•••/-1由行列式按列展开法则得：我们还注意到Di是范徳蒙徳行列式，所以有:D严入血―®)=()'7iXy-兀2)…nU-x.Q=A（”+i）+y•刍“+i）+•••+产•4（w+i）•比+1加）+产・金+2）（网）+••刊"•仏i）（冋）我们注意到，该展开式町以看做是一个关于y的k次多项式，每一个代数余了式是各项前的系数,其中,:/的系数是九+1）（卄1）。n>i>j>・・・(y-诙-乳2)・・心-£)=(-1)"+(-旷1+••十(-1严・噤,话
5、+••+『"+…+(-1严+•・•+/]口舌-号)血>0••该展开式也可以看做是一个关于y的k次多项式，每一个代数余了式是各项前的系数,其中，），的系数是（一1厂rfc—号）。ri>i>j>••念+1)5+1)=(-1)"k・瓷：,…齐•口兀-巧)=(-1厂如・M(m+i)n>i>j>l我们注意到Q的余子式（曲）就是Q,所以保(-F•鹉,勺•Hb-』(-1广吶qn>i>j>—(-1广・(-1严•噤nkp)n>i>7>1（_］严.C驚）X］9^2、，兀•nk—Xjn>i>j>>i>j>l其中，m。综合①②，我们
6、注意到k=0II寸，该公式也成立。于是我们便得到了范徳蒙徳行列式缺少0一行情形下的计算公式，我们可以称它为范德蒙德推广式，即：2=4,七，…,X”.匸［（兀—兀/）,其中05k5n,kwZn>i>j>1（2）我们接下来研究一下S；=1+2'+3*+・・・+卅。・・・(n+1)A+1=严'+C；+1•nk+C[•n_'+・・・+C；+1•〃+1・・.(n+iy+1-nA，+1=Cl】•/?+Cf+1•nk~x+・・・+C£•〃+1卅"-(n-1)"'=c：+i•s-iy+c；+]•(n-iy"+•・•+cf+i•G-1
7、)+12"-l=C：+
8、・l+C^・l+…+C：jl+1由错位相消法得：(«+1尸一1=%•S；+C；+
9、・ST+…+C爲•S：+S：,并且S：=n同理可得:S+iy—i=c”sJ+c；・sT+・・・+c『・s：+s：依次类推,我们便可以得到:S：,S：,・・・,ST，S：都能用n的多项式表示。接下來讨论多项式的最高次数问题。设不定积分I=xkdx.并UkwN°・・・y=xk在［0,1］上连续。为窄曲边梯形的髙，其中i=i^-.no设0,1,1n曲边梯形的的血积为S,于是有:=卜也=lim£一•川一>8/=!=lim
10、畀一>001nk+}・•・I=xkdx存在。在［0,1］上插入ml个分点，把［0,1］分成n等份。于是［0,1］就被分成并以卅=lirn~j7r=c(幣数)"TOC%・•・sf是〃"1的同阶无穷小。・••综上所述S；口J以用n的k次多项式表示，并H授高次数为k+1次。即：片可以表示为Sn=兀0+兀］•M+兀2•乙2+兀3•比3F
