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《点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、X2V2定理在椭圆—+^-7=1cr/?_点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用(a>b>o)中，若直线/与椭圆相交于m.n两点，点戶(兀0*0)是v严弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为kMN9则%•山=一一厂兀0*证明：设M、N两点的坐标分别为(X］』i)、(无2*2)，22(1)•⑵a2—(1)-(2)，得迢222_兀2
2、Xa2-y22.b2=0..力一X+Xb2x2-X]x2+兀]a2又-=y2--必y+力_2y_—■x2・一壬X]+x22xX22—L2b2X■』=7f2crb・2同理可证，在椭圆討-y2卜—=1(d>0>0)中，若直线/与椭圆相交于M、
3、N两点，点POodo)a是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为%，则•耳=例1设椭圆方程为X2+^-=1,过点M(O,1)的直线/交椭圆4于点A、B,O为坐标原点，点P满足0P=丄(OA+OB),点N的2(11A坐标为一，一•当/绕点M旋转时，求：(22丿(Q动点p的轨迹方程；(2)
4、NP
5、的最大值和最小值.解：(1)设动点p的坐标为(x,y).由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点.焦点在y上，cr=4,/?2=1.假设直线/的斜率存在.由~=—得：丄•=—4.娜理，得：4兀2+y?—y=0.xxx当直线/的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点0(0,
6、0),也满足方程。所求的轨迹方程为4x2+y2-y=0.⑵配方，得：斗+沖164—►11.•
7、/VP
8、2=(x--)2+(y--)2=(4+j24=-3(x+-)2+—6121——吋,6maxI]••・当x=-时，
9、2VP
10、min=-；当兀2例2在直角坐标系xOy中，经过点(0,V2)且斜率为k的直线/与椭圆—+y2=1有两个不同的2交点P和Q.(1)求R的取值范围；(2)设椭圆与兀轴正半轴.歹轴正半轴的交点分别为A.B,是否存在常数R,使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求R的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：(1)直线/的方程为y=kx+42.y=k
11、x+V2,兀2r得：(2A：2+1)兀2+4/^也+2=().—+V2=1.2・兀2•・•直线/与椭圆—+y2=1有两个不同的交点，・•・△=3*2—8(2/：2+i)>o.解之得:J5k<或k>・二k的取值范用是222(2)在椭圆—+y2=1中，焦点在x轴上，a=V2,Z?=1,.・.A(血,0),B(0,l),乔=(“,1)•设弦PQ的中点为M(x0,y0),则=(x0,y10).由平行四边形法则可知：OP+OQ=2OM.•/0P+OQ与AB共线，.•.OM与AB共线.72由（1）可知比==fll;b直线猪椭圆没有两个公共点’•••不存在符合题那常数匚猎晋
12、,从而斜-拿叫"斜-务得:k・22例3已知椭圆^—+^—=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F｝、八crb~、V2离心率€=2右准线方程为X=2.（I）求椭圆的标准方程:（n>过点片的直线/与该椭圆相交于M>N两点，且If2m+f2n=2V263,求直线/的方程.解：（I）根据题意，得X••••所求的椭圆方程为——+2=1.（II）椭圆的焦点为片（一1,0）、7^（1,0）.设直线/被椭圆所截的弦MN的中点为P（x,y）.由平行四边形法则知：F2M+FN=2FP.•■2』26■J26o?26由IF2M+F2N=^^-得：I"P
13、=J..・.（x-l）2+
14、^2=—①若直线/的斜率不存在，则/丄x轴，这时点P与FJ-1,0）重合，
15、可乔+丽
16、=
17、2可耳
18、=4,与题设和孑盾，故直线/的斜率存在.由~=得：^7•丄=_£•二b=_+（兀2+%）•②xax+x2271926②代入①’得（兀—1）~—（对+x）=—•29172整理，得：9x2-45x-17=0•解Z得：x=—,或％=—一・33]72
19、由②可知，x=——不合题意.x=—•从而y=±—k=—-—=±1.233x+1/.所求的直线I方程为y=x+b或y=-x-.己知椭圆C手+—的离心率为半，过右焦点F的匈与C相交于A、B两点•当/的斜率为I时，坐标原点。到/
20、的距离为半.(1)求的值；(2)c上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有点P的坐标与/的方程；若不存在，说明理由.解：(1)椭風的右焦点为F(c,O),直线I的斜率为1时，则其方程为y=，即x-y-c=O.原点o至畀的距离:cl=IO-0-d近cV2ci=V3.从而b—V2.a—y/3,b—V2.?7兀一(2)椭圆的方程为——+—32=1•设弦AB的中点为Q(x,y).由OP=OA+OB可知，点Q是线段op的中点，点P的坐标为(2x,2y).:.若直线/的斜率不存在，则/丄兀轴，这时点Q与F(LO)重合，OP=(2,
21、0),点p不在椭圆上,故
