2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件学案新人教B版

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1、1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标核心素养1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(重点)2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.(易混点)3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明.(重点、难点)1.通过充分条件、必要条件、充要条件概念的学习,培养学生的数学抽象素养.2.通过命题间充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1.充分条件与必要条件(1)当命题“如果p,则q”经过推理证明断定为真命题时,我们就说由p成立可推出q成立,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.这几种形式的表达,讲的是同一

2、个逻辑关系,只是说法不同而已.(2)若p⇒q,但qp,称p是q的充分不必要条件,若q⇒p,但pq,称p是q的必要不充分条件.思考1:若p是q的充分条件,p是唯一的吗?[提示] 不一定唯一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.2.充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的充分且必要条件,简称充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.思考2:若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件吗?[提示] 是.因为p⇔q,q⇔r,所以p⇔r,所以p是r的充要条件

3、.1.若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的(  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [当α=0时,sinα=0,cosα=1,∴sinα<cosα;而当sinα<cosα时,-+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,故“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件.]2.“x>0”是“>0”成立的(  )A.充分条件       B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件A [x>0显然能推出>0,而>0⇔

4、x

5、>0⇔x≠0,不能推出x>0,故选A.]3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的(  )

6、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B [由a-c>b-d变形为a-b>c-d,因为c>d,所以c-d>0,所以a-b>0,即a>b,∴a-c>b-d⇒a>b.而a>b并不能推出a-c>b-d.所以a>b是a-c>b-d的必要不充分条件.故选B.]4.命题p:(x-1)(y-2)=0;命题q:(x-1)2+(y-2)2=0,则命题p是命题q的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B [命题p:(x-1)(y-2)=0⇒x=1或y=2.命题q:(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2.由q⇒p成立,而由pq成

7、立.]充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】 (1)设a,b为向量,则“

8、a·b

9、=

10、a

11、·

12、b

13、是“a∥b”的(  )A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设a,b∈R,则“a>b”是“a

14、a

15、>b

16、b

17、的”(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件(3)如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(  )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(1)C (2)C (3)C [(1)设向量a,b的夹角为θ,则a·b=

18、a

19、·

20、b

21、cosθ,若

22、a·b

23、=

24、a

25、

26、

27、b

28、⇒cosθ=±1,则向量a,b的夹角θ为0或π,即a∥b为真;若a∥b,则向量a,b的夹角θ为0或π,

29、a·b

30、=

31、a

32、

33、b

34、,所以“

35、a·b

36、=

37、a

38、

39、b

40、”是“a∥b”的充要条件.特别地,当向量a或b为零向量时,上述结论也成立.故选C.(2)构造函数f(x)=x

41、x

42、,则f(x)在定义域R上为奇函数.因为f(x)=所以函数f(x)在R上单调递增,所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a

43、a

44、>b

45、b

46、.故选C.(3)设集合A={(x,y)

47、x≠y},B={(x,y)

48、cosx≠cosy},则A的补集C={(x,y)

49、x=y},B的补集D={(x,y)

50、cosx=cosy},显然CD,

51、所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.故选C.]充分条件和必要条件的两种判断方法(1)定义法:可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.(2)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x

52、p(x)},B={x

53、q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的

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