高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学案（含解析）新人教版

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1、§3.1　函数与方程3.1.1　方程的根与函数的零点学习目标　1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点).知识点1　函数的零点(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数f(x)＝x2－4x的零点是________.(2)若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.解析　(1)令f(x)＝0，即x2－4x＝0，解得x＝0或x＝4，所

2、以f(x)的零点是0，4.(2)由f(2)＝4a－1＝0得a＝.答案　(1)0，4　(2)知识点2　函数零点的判断(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1，1)内有零点(　　)(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.

3、(　　)(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(　　)提示　(1)×　由于f(x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.(2)×　反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.(3)×　反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.题型一　函数零点的概念及求法【例1】　(1)函数y＝1＋的零点是(　　)A.(－1，

4、0)B.x＝－1C.x＝1D.x＝0(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝________.解析　(1)令1＋＝0，解得x＝－1，故选B.(2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1.令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，即g(x)的零点为－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案　(1)B　(2

5、)－2　(3)3规律方法　函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【训练1】　函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.解析　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0⇒b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).∵－ax(2x＋1)＝0⇒x＝0，x＝－，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，

6、－.答案　0，－题型二　确定函数零点的个数【例2】　判断下列函数零点的个数.(1)f(x)＝x2－x＋；(2)f(x)＝lnx＋x2－3.解　(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，得Δ＝－4×＝－<0，所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.(2)法一　函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3

7、有一个零点.法二　由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法　判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4

8、)转化成两个函数图象的交点问题.【训练2】　函数f(x)＝lnx－的零点的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3解析　如图画出y＝lnx与y＝的图象，