高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程一学案含解析新人教A版选修1

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1、2.1　椭　圆2.1.1　椭圆及其标准方程(一)学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一　椭圆的定义思考　给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理　(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹．(

4、2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离

5、F1F2

6、.(4)几何表示：

7、MF1

8、＋

9、MF2

10、＝2a(常数)且2a>

11、F1F2

12、.知识点二　椭圆的标准方程思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理　焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的

13、点的轨迹叫做椭圆．(　×　)2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)类型一　椭圆的标准方程命题角度1　求椭圆的标准方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵点

14、A(0,2)，B在椭圆上，∴解得这与a>b相矛盾，故应舍去．当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵点A(0,2)，B在椭圆上，∴解得∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，综上可知，椭圆的标准方程为x2＋＝1.方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵点A(0,2)，B在椭圆上，∴∴故椭圆的标准方程为x2＋＝1.(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得2a＝＋，∴2a＝12，即a＝

15、6.∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(λ>－9)，将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.反思与感悟　求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两

16、种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.∴所求椭圆的标准

17、方程为＋＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴∴∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，∴代入得∴∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.命题角度2　由标准方程求参数(或其取值范围)例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．考点　椭圆的标准方程题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案　(0

18、,1)解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为＋＝1，∴有解得0