高考数学一轮复习课时作业56最值、范围、证明问题理（含解析）新人教版

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1、课时作业56　最值、范围、证明问题第一次作业　基础巩固练1．已知动圆C与圆C1：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线l：x＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E的方程；(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点，求证：kMA＋kMB＝2kMP.解：(1)由题知，动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E的方程为y2＝8x.(2)证明：由题知当直线AB的斜率为0时，不符合题意，

2、所以可设直线AB的方程为x＝my＋1，联立消去x，得y2－8my－8＝0，Δ＝64m2＋32>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－1，t)，则y1＋y2＝8m，y1·y2＝－8，x1＋x2＝8m2＋2，x1·x2＝1，而2kMP＝2·＝－t，kMA＋kMB＝＋＝＝＝＝－t，所以kMA＋kMB＝2kMP.2.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(1,0)，过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，＝6.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接

3、MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程．解：(1)由题知A(－a,0)，C(0，a)，故B，代入椭圆E的方程得＋＝1，结合a2－b2＝1，得a2＝4，b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：x＝my＋1，代入＋＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，连接ON，由Q与M关于原点对称知，S△MNQ＝2S△MON＝

4、y1－y2

5、＝＝＝，∵≥1，∴3＋≥4，∴S△MNQ≤3，当且仅

6、当m＝0时，等号成立，∴△MNQ面积的最大值为3，此时直线l的方程为x＝1.3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1)∵AB∥l，∴

7、FD

8、＝p，

9、AB

10、＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.由消去

11、y整理得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.∴M，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1

12、，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴

13、

14、2＝

15、＋

16、2＝16－＋，由此可知，

17、

18、2的大小与k2的取值有关．由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴

19、

20、2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时

21、，

22、QC

23、min＝2.5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，知S＝×1×

24、x1－x2

25、

26、＝＝2，令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0<≤，∴0