高考数学第三篇三角函数、解三角形（、）第6节正弦定理和余弦定理及其应用习题理（含解析）

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1、第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b等于(　D　)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA等于(　D　)

2、(A)(B)(C)(D)解析:如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos=,则△ABC一定是(　A　)(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos=得2cos2-1=cosA=cosB,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B

3、,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　D　)(A)10nmile(B)nmile(C)5nmile(D)5nmile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是(　C　)(A)(0,］(B)［,π)(C)(0,］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所

4、以b2+c2-a2≥bc,所以cosA=≥,所以0

5、=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 解析:由正弦定理=得=,所以sinB=,又b

6、长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　,cos∠BDC=　　　　. 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:　能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos2B+3

7、cos(A+C)+2=0,b=,则c∶sinC等于(　D　)(A)3∶1(B)∶1(C)∶1(D)2∶1解析:由cos2B+3cos(A+C)+2=0,得2cos2B-3cosB+1=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=,所以sinB=,所以由正弦定理知c∶sinC=b∶sinB=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　D　)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,====4.因为A+B=.所以AC+BC=4sinB+4sinA=4sin

8、B+4sin(-B)=4sinB+4(cosB+sinB)=2cosB+10sinB=4sin(B+θ)(tanθ=),因为0