一列倒数和的求法

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1、一组倒数和的求法目前类似，，，…,的一组数的求和问题，已经走进了教辅材料，特别是一些竞赛题中经常出现，因此应给予特别的关注。经过探索和总结，这里给出了这样一组数的和的一般求法。先从本题开始：求，，，…，的和解：+++…+==1－=从这个和的求法可知，要想求出和，关键在于利用恒等式，把每一项分成两项差的形式，达到消项的目的，最后求出和，恒等式的证明是很简单的。那么是否可以分项呢？是否可分项呢？由待定系数法分项如下：设（A、B为待定数）则右式=令分子等于1，即（A－B）n+2A=1,则A=B，A=∴=（）这里多出一个系数同理=因此，对于分项问

2、题：一般地，如果x1，x2，x3，…xk每一项减去其前面一项的差都相等，则=(x1，x2，…xk,全不为零)证明：右====左即原式成立。利用这种分项法可以求出类似于这样一组数的和。例：求的值。解：原式===再举一个较复杂的例子例2求的值解：原式===即=有了这个恒等式，解决了这类数的求和问题。但有些不能用初等方法表示的一组数的和，尽管可以分项，都无法求出其和。例如，，，…，是否可求和由分项公式得：=即原式=()+()+()+…+()=+++…+这一组数的和是不能用初等方法表示出来的。因此求这类数的和时，必须具备两个条件。（1）可以分项。

3、（2）分项后的这组数可以消项。下面利用这种分项法求这样一组数的和。例1求，，…，的前30项的和。解：原式===思考题：1、求的和。（答案：）2、求和：1+提示：1+=1+=1+==2（1－）=当n=1000时，∴1+=