分类讨论数学思想

《分类讨论数学思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、分类讨论思想分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的

2、问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论．(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和01的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论．(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨

3、论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．热点一　由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2014·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．解　(1)f(x)的

4、图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.解当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立；当q≠1时，由题意，得所以由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－或q＝1(舍去)．当q＝－时，a1＝＝6.综上可知，a1＝或a1＝6.(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)A．1或3B．1或4C．2或3

5、D．2或4解析　设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人．故选D.思维升华　(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两

6、边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)设集合A＝{x∈R

7、x2＋4x＝0}，B＝{x∈R

8、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．解　∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当BA时，又可分为两种情况．①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1

9、)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.　(1)已知函数f(x)＝满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为(　　)A．log23B.C.D．1解析　(1)分两种情况分析，①或者②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故选C.(2)设f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为(　　)A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(，＋∞)C．(1,2)∪(，＋∞)D．(1,2)解　要求出满足题意的不等式的解集，需有或分别解这两个不等式组，得1.