高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十四)解三角形的综合应用理苏教版

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1、课时跟踪检测(二十四)解三角形的综合应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的________方向上.解析:由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案:南偏西80°2.(2019·扬州调研)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100m,则此山CD的高度为________m.解析:设山高CD为x,在R

2、t△BCD中有:BD=CD=x,在Rt△ACD中有:AC=2x,AD=x.而AB=AD-BD=(-1)x=100.解得x==50(+1).答案:50(+1)3.(2019·南通模拟)2018年12月,为捍卫国家主权,我国海军在南海海域进行例行巡逻,其中一艘巡逻舰从海岛A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后再从海岛B出发,沿北偏东35°的方向航行40海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C,则航行的路程为________海里.解析:根据题意画出图形,如图所示.在△ABC中,∠ABC=70°+35°=105°,AB=40,BC=40.根据余弦定理,得A

3、C2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40×=400(8+4)=400(+)2,∴AC=20(+).故所求航行的路程为20(+)海里.答案:20(+)4.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为________km.解析:由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设BC=xkm则由余弦定理知9=x2+4-4xcos120°,因为x>0,所以x=-1.答案:-15.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北

4、偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是________km.解析:如题图,由题意知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°,由正弦定理知=,所以BS==3(km).答案:36.(2018·天一中学检测)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.解析:如图所示,设过xh后两车距离为y,则BD=200

5、-80x,BE=50x,所以y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),所以当x=时y2最小.答案:二保高考,全练题型做到高考达标1.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是________海里.解析:如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理

6、得=,解得BC=10(海里).答案:102.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为________km/h.解析:设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,所以由余弦定理得2=2+12-2××2×1×,解得v=6.答案:63.(2018·启东二模)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东

7、方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿的距离为________海里.解析:由题意可知CD=40,∠ADB=60°,∠ACB=60°,∠BCD=90°,∴∠ACD=30°,∠ADC=105°,∴∠CAD=45°.在△ACD中,由正弦定理,得=,∴AD=20,在Rt△BCD中,∵∠BDC=45°,∴BD=CD=40.在△ABD中,由余弦定理,得AB==20.故A,B两处岛屿的距离为20海里.答案:204.一个大型喷水池的中央有一个

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