1、课时作业51 直线与圆锥曲线 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是( A )A．1B．2C．1或2D．0解析：由直线y＝x＋3与双曲线－＝1的渐近线y＝x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2．(2019·山东聊城一模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( D )A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x
2、－2)，即2x－y－3＝0.故选D.3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为( D )A.B.C.D.解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以解得1＜k＜，即k∈，故选D.4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( D )A.B.C.D.解析：易知p＝4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2＝8x，与直线A
3、B的方程y－3＝k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k(16k＋24)＝0，解得k＝－2或k＝.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k＝－2，故k＝，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF＝＝，故选D.5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为( D )A．3B．2C．－2D．－3解析：由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y2＝2px联立得得即A，则直线AB的方程为y－p＝6，即y＝6x－2p，与抛物线方程y2＝2px联立得得
4、或所以B，所以直线OB的斜率为kOB＝＝－3.故选D.6．已知双曲线－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是( D )A．4B．3C.D．2解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，又因为直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2＝8x⇒k2x2＋(2km－8)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2
5、＝＝4，且2＝2k＋m，联立解得k＝2，m＝－2.
6、AB
7、＝
8、x1－x2
9、＝·＝2.O到AB的距离d＝.∴S△AOB＝×2×＝2.7．(2019·泉州质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为( B )A．(，)B．(，＋∞)C．(，2)D．(1，)解析：法一：由题意知，直线l：y＝－(x－c)，由得x2＋x－＝0，由x1x2＝＜0，得b4＞a4，所以b2＝c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞.法二：由题意，知直线l的斜率为－，若l与双曲线左、右
10、两支分别交于D，E两点，则－＞－，即a2＜b2，所以a2＜c2－a2，e2＞2，得e＞.8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为( C )A．4x＋y－1＝0B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0D．x＋4y＋3＝0解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0.9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y＝2x＋2与抛物线y＝a
