1、课时作业13 变化率与导数、导数的计算1．(2019·湖南株洲模拟)设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是( A )解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，则g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈时，y＝g(t)＞0，排除选项C，故选A.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是( D )A．1秒末B．1秒末和2秒末C．4
2、秒末D．2秒末和4秒末解析：s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零．3．(2019·河南林州一中调研)函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为( B )A.B．－C.D．－解析：∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－，令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－，解得f′(2)＝－，故选B.4．(2019·广西五市联考)已知e为自然对数的底数，曲
3、线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝( B )A.B.C.D.解析：∵y′＝aex＋1，∴切线的斜率为y′
4、x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝.5．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( D )A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)解析：∵f(x)＝x3＋ax2，∴f′(x)＝3x2＋2ax，
5、∵曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，∴3x＋2ax0＝－1，∵x0＋x＋ax＝0，解得x0＝±1，∴当x0＝1时，f(x0)＝－1，当x0＝－1时，f(x0)＝1.故选D.6．(2019·广东深圳模拟)设函数f(x)＝x＋＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝( D )A．1B．0C．－1D．－2解析：由题意可得，f(a)＝a＋＋b，f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切线方程是y－a－－b＝(x－a)，将(0,0)代入得－a－－b＝(－a)，故
6、b＝－，故ab＝－2，故选D.7．(2019·乐山模拟)已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( B )A．(3，＋∞)B.C.D．(0,3)解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有2＝，即为ex＝＋或ex＝－，即有7－2a＞0且7－2a＜1，解得3＜a＜.8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y
7、＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( A )A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝＞0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f
