（新课标）高考数学第六章不等式、推理与证明6_5数学归纳法课时规范练理（含解析）新人教A版

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1、6-5数学归纳法课时规范练(授课提示：对应学生用书第285页)A组　基础对点练1．(2018·商丘期末)用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增加的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(4k＋1)．解析：从“k到k＋1”左边需增加的代数式是：(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)－(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·[(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)－(k＋1

2、)]＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)(4k＋1)．2．(2018·杭州期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1,2Sn＝an·an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3以及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2－an，数列{bn}的前n项和为Tn.①求Tn；②证明：＋＋…＋≤2Tn(n∈N*)．解析：(1)∵a1＝1,2Sn＝an·an＋1，∴2a1＝a1·a2，即a2＝2，∴2(a1＋a2)＝a2·a3，即a3＝3.猜想an＝n，证明如下：①当n＝1时，显然成立，②假设当n＝k时成立，即

3、ak＝k，则Sk＝.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝k＋1，故n＝k＋1时也成立，由①②可得an＝n对于n∈N*都成立，∴数列{an}的通项公式为an＝n.(2)易知bn＝n，①Tn＝＝1－.②由(1)可知Sn＝，∴＝＝2，∴＋＋…＋＝2＝2.要证明＋＋…＋≤2Tn，只要证明2≤2，只要证≥，只要证n＋1≤2n，①当n＝1时，不等式显然成立，②假设当n＝k时，不等式成立，即k＋1≤2k，那么当n＝k＋1时，k＋2＝k＋1＋1≤2k＋1≤2k＋1，即当n＝k＋1时不等式成立，由①②可得n＋1≤2n对于n∈N

4、*都成立，故＋＋…＋≤2Tn(n∈N*)．3．函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：0，f(x)在(－1，a2－2a)上是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)上是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当a＝2时

5、，f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0成立，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，0)上是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)上是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)上是增函数．(2)证明：由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)>(x>0)．又由(1)知，

6、当a＝3时，f(x)在[0,3)上是减函数．当x∈(0,3)时，f(x)ln>＝.ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln<＝.即当n＝k＋1时，有

7、，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法．(1)写出f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)(n≥3)，并用数学归纳法证明．解析：(1)n＝3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个有2种方法，可得f(3)＝24；n＝4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)＝36＋48＝84.(2)当n≥4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，

8、由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，…，an－1均有3种染法．对于扇形an，用与an－1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n－1)，于是可得f(n)＝4×3n－1－f(n－1)，猜想f(n)＝3n＋(－1)n·3.①当n＝3时，左边f(3)＝24，右边33＋(－1)3·3＝2