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《奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、天津商学院学报第19卷第6期1999年11月JOURNALOFTIANJINUNIVERSITYOFCOMMERCEVol.19No.6Nov.1999奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用杨卫疆(天津商学院基础部,天津300400)摘要在定积分和重积分的计算中,恰当地利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,可以使积分运算大大简化。文章把这些方法推广到曲线积分和曲面积分中,并给出了证明。关键词奇偶;对称;曲线;曲面;积分分类号A765ApplicationofOdevityandSymmetryinCurvilinearIntegrala
2、ndSurfaceIntegralYangWeijiang(DepartmentofBasicCourses,TianjinUniversityofCommerce,Tianjin300400)AbstractInthecalculationofdefininganddoubleintegral,appropriatelymakinguseoftheodevityofintegrandandthesymmetryofintegralregioncansimplifythecalculationofinte-gral.Thisarticlepo
3、pularizesthesemethodsinthecalculationofcurvilinearintegralandsur-faceintegralandgivesproofofthemaswell.Keywordsodd-even;symmetriccurve;surface;integral在各类《高等数学》教材中,讲授定积分与重积分(4)若(x,y,z)∈,则(-x,-y,-z)∈,那么时都谈到了应用奇偶性、对称性可使计算简化,但在曲关于原点对称。线积分、曲面积分中却很少谈及。实际上,在曲线积分(5)若(x,y,z)∈,则
4、(x,-y,z)和(-x,y,z)∈和曲面积分问题中,也有相应的问题。如果把定积分、,那么关于xoz和yoz面对称。重积分视为线、面积分的特殊情况,则奇偶性、对称性1.2函数的奇偶性这些在特定情况下的性质就可以推广到一般的线、面(1)若f(x,y,z)在上满足f(-x,y,z)=f积分中。(x,y,z),称f为上关于x的奇、偶函数。f关于y或z的奇偶性类似。1定义(2)若f(x,y,z)在上满足f(-x,-y,z)=f(x,y,z),称f为关于x与y的奇、偶函数。f关于x1.1区域的对称性与z或y与z的奇偶性类似。(1)若(x
5、,y,z)∈,则(x,y,-z)∈,那么关(3)若f(x,y,z)在上满足f(-x,-y,-z)=于xoy面对称。关于xoz面、yoz面对称类似。f(x,y,z),称f为关于x、y和z的奇、偶函数。(2)若(x,y,z)∈,则(-x,-y,z)∈,那么关于z轴对称。关于x轴、y轴对称类似。2曲面积分中的若干结论(3)若(x,y,z)∈,则(x,-y,z)、(x,y,-z)和(-x,y,z)均∈,那么关于三个坐标面对称。2.1若分片光滑的曲面关于xoy面对称,f在收稿日期:1998-11-25杨卫疆:奇偶性对称性
6、在曲线积分和曲面积分中的应用上关于z为连续的奇、偶函数,则上同时是x和y的连续的奇、偶函数,则:0,f奇0,f奇f(x,y,z)dS=∫∫∫∫f(x,y,z)dS=2∫∫f(x,y,z)dS,f偶4∫∫f(x,y,z)dS,f偶11其中1为在xoy面上方一侧的部分区域(z=±其中1为在1,5卦限的部分区域。z(x,y)具有连续的偏导数)。证明证明∫∫fdS=∫∫fdS+∫∫fdS+∫∫fdS+∫∫fdS∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)dS+∫∫f(x,y,z)dS123412其中1、2、3
7、、4分别是在1,5;2,6;3,7和4,其中1:z=z(x,y),2:z=-z(x,y),8卦限的部分区域。因为关于yoz面对称,若f是x若f(x,y,-z)=f(x,y,z)的偶函数,应用结论1有:则∫∫f(x,y,z)dS∫∫fdS=∫∫fdS212=∫∫f[x,y,-z(x,y)]同样可证fdS=fdSfdS=fdSD∫∫∫∫∫∫∫∫xy2334221+(-zx)+(-zy)dxdy故∫∫f(x,y,z)dS=4∫∫f(x,y,z)dS22=∫∫f[x,y,z(x,y)]1+zx+zydxdy1Dxy奇函数情
8、形同理。其他同类情况可仿此证。22=∫∫f(x,y,z)dS例2求∫∫(x+y)zdS,为Z=2-(x+y)1在Z=-h(h≥0)上方的部分。故∫∫f(x,y
