根与系数的关系及应用讲义

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1、根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么   反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．　　　1．已知一个根，求另一个根　　利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根．　　例1方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-19

2、99=0的小根为b，求a-b的值．　　　　例2设a是给定的非零实数，解方程　　　　2．求根的代数式的值　　　在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．　　例3已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：　　　　(3)α3＋β3；(4)α3-β3．　　　　例4设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．　　　　例5已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．　　　例6设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值．　　　　3．与两根

3、之比有关的问题　　例7如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k＋1)2ac．　　　　例8已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m2＝0　　　4．求作新的二次方程　　例9已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．　　　　例10设x2-px＋q=0的两实数根为α，β．　　(1)求以α3，β3为两根的一元二次方程；　　(2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程．　　5．证明等式和不等式　　　利用韦达

4、定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．　　例11已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y．　　　例12若a，b，c都是实数，且a＋b＋c=0，abc=1，　　　　例13知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．