二轮复习数学专题一第4讲 导数及其应用

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1、2012年高考第二轮复习数学专题一第4讲　导数及其应用1．(2011课标全国卷，理9)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)．A．B．4C．D．62．(2010课标全国卷，理3)曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)．A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－23．(2010课标全国卷，理13)设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点

2、(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为__________．4．(2011课标全国卷，理21)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．5．(2011陕西高考，理21)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的

3、大小关系；(3)是否存在x0>0，使得

4、g(x)－g(x0)

5、<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．6．(2010课标全国卷，理21)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．从近几年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值，求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题；(4)对

6、微积分基本定理的考查频率较低，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查．从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现．热点一　利用导数研究曲线的切线确定或应用曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点，常与函数的图象、性质、几何图形性质交汇命题．主要以选择题、填空题的形式来考查．有时也渗透在解答题之中．难度一般不大．【例1】(2011重庆高考，理18)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f

7、′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．思路点拨：(1)由f′(1)＝2a，f′(2)＝－b联立求出a，b，再求切线方程；(2)先求g′(x)，再根据导数的符号明确其增减性，进而明确极值情况．1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．2．求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0的导数f

8、′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0))，由点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．提醒：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．拓展延伸设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝__________.热点二　利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性问题，常与函数的其他性质相结合，且函数中一般含有参数，填空题为中

9、低档难度，一般还是以解答题的形式出现，属于中高档题．【例2】已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．思路点拨：(1)在定义域内令f′(x)<0，易得函数的单调递减区间．(2)将原问题转化为g′(x)≥0或g′(x)≤0恒成立问题，进而求出a的取值范围．利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.