2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第53练含解析

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1、训练目标【1】会求线面角、二面角；【2】会解决简单的距离问题．训练题型【1】求直线与平面所成的角；【2】求二面角；【3】求距离．解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.1．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，点A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面是边长为的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．3．如图所示，在三棱锥S

2、—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为________．4．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________．5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为______________．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下

3、命题：①异面直线C1P与B1C所成的角为定值；②二面角P－BC1－D的大小为定值；③三棱锥D－BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．其中真命题的个数为________．7．【2016·山东模拟】如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB的中点．【1】求证：DF∥平面ABC；【2】求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．8．【2016·辽宁沈阳二中月考】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.【

4、1】求证：PB∥平面COD；【2】求二面角O－CD－A的余弦值．9．【2016·南通模拟】如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.【1】求直线AB与CP所成角的余弦值；【2】求二面角A－PC－D的余弦值．第53练　空间角与距离1.2.解析　因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为，底面三角形的边长为，所以S△ABC·A

5、A1＝，可得AA1＝.又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝＝，又直线与平面所成的角属于0，】，所以∠APA1＝.3.解析　作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连结SD，如图所示．∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝a.由＝，

6、得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.4．45°解析　取BD的中点F，连结EF，AF【图略】，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°.5．60°6．4解析　对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面

7、BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故②正确；对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1面积一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．综上可知，真命题的个数为4.7．【1】证明　如图，

8、过点F作FH∥EA交AB于点H，连结CH.∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，