与圆有关的最值(范围)问题

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1、与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助．类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：上任一点，则的最小值为.【分析】：这是求解“

2、圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x+1的距离，圆半径，故变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C上任一点，则的最小值为.【分析】本题要求的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q到的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1．解：如图2，设为Q到的距离，则xyOCBQAxyOCPQ图1图2变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直

3、销三角形进行求解．因为，故即求PC的最小值，即例1．解：如图3，，∵，∴变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC=时，最大．【分析】，故即求角的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的最小值，即例1．解：如图4，∵，,∵,∴时，最大，即最大．xyOCPABxyOCPA图3图4变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为.【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，，由变式2可知，，故

4、四边形PACB面积的最小值为xyOC【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解．也即将“两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C：，从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．【分析】本题中，由于点P和点M均在动，故直

5、接做很难求解．联系到PM是切线段，因此可利用将条件PM=PO转化为只含有一个变量P的式子即可求解．解：由题意，令，∵，∴，即，化简得：．∵PM=PO，∴即求直线到原点O(0,0)的最小距离．，易得PM的最小值为.类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x、y满足，求x-2y的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：，令，则（其中）∴当时，，故x-2y的最大值为0．xyOC【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三：抓住所求式的几何意义

6、转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义，可以转化为线性规划问题求最值．比如例2，除了用圆的参数方程求解，还可以联想到在线性规划问题中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解．解法二：令,则，由题意，当直线的纵截距最小时，最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离，故，由题意，，即x-2y的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求，，的取值范围，则可以分别用如下方法求解：对，转化为圆上任意一点P到点连线斜率的最大值，可设过点的直线为，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离，可得，

7、故．对，转化为圆上任意一点P到点距离的平方的取值范围，由例1易得，即对，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P到直线的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为，故圆上任一点P(x,y)到直线的距离，即.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题