奥数题型与解题思路41-60讲

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1、41、简单方程的解法　　【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。　　　　解去分母，两边同乘以6，得　　3（x-9）-2（11-x）=12　　去括号，得3x-27-22+2x=12　　移项，得3x+2x=12+27+22　　合并同类项，得5x=61　　　　【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是：　　（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；　　

2、（2）解这个整式方程；　　（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。　　　　解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得　　5（x-2）=7x　　解这个整式方程，得x=-5，　　检验：当x=-5时，　　x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，　　所以，-5是原方程的根。　　　　解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得　　（x－2）2-16＝（x+2）2　　解这个整式方程，得x=-2。　　检验：当x=-2时，（x+2）（x-

3、2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。42、加法运算定律　　【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。　　加法交换律用字母表达，可以是　　a+b=b+a。　　例如：864+1，236=1，236+864=2，100　　【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。　　加法结合律用字母表达，可以是　　（a+b）+c=a+（b+c）。　　例如：（

4、48928+2735）+7265　　=48928+（2735+7265）　　=48928+10000　　=5892843、几何图形旋转　　【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。　　如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫做圆柱的母线。　　【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。　　例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋

5、转一周，便形成了圆锥AC。其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。　　【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。　　例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。　　【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。　　例如图1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。原

6、来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。　44、几何图形的计数【点与线的计数】　　例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？　　（全国第二届“华杯赛”决赛试题）　　讲析：可用“分组对应法”来计数。　　将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；　　第二排三角形有3个，其下行线有3点；　　第三排三角形有5个，其下行线有4点；　　以后每排三角形个数都比它的下行线上的点

7、多。　　所以是小三角形个数多。　　例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？　　（如图5.46）　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）　　讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。　　直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。　　同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。　　所以，一共可以组成70个三角形。【长方

8、形与三角形的计数】　　例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）　　为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。　　①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；　　②高为