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时间:2019-10-28
《高考数学平面解析几何10第9讲圆锥曲线的综合问题(第1课时)圆锥曲线中的范围、最值问题练习题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时锥曲线中的范围、最值问题[基础题组练]1.如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是( )A.(10,14) B.(12,14)C.(10,12)D.(9,11)解析:选C.抛物线的准线l:x=-1,焦点(1,0),由抛物线定义可得
2、QC
3、=xQ+1,圆(x-1)2+y2=25的圆心为C(1,0),半径为5,可得△PQC的周长=
4、QC
5、+
6、PQ
7、+
8、PC
9、=xQ+1+(xP-xQ)+5=6+xP,由抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=
10、25可得交点的横坐标为4,即有xP∈(4,6),可得6+xP∈(10,12),故△PQC的周长的取值范围是(10,12).故选C.2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A,B两点,若=λ(λ>1),则λ的值为________.解析:根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由=λ,得=λ,故-y1=λy2,即λ=-.设直线AB的方程为y=,联立直线AB与抛物线方程,消元得y2-py-p2=0.故y1+y2=p,y1·y2=-p2,=++2=-,即-λ-+2=-.又λ>1,故λ=4.答案:43.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4且过点(,-2).(1)求
11、椭圆C的方程;(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E,F,求·的取值范围.解:(1)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距是4,所以焦点坐标是(0,-2),(0,2),2a=+=4,所以a=2,b=2,即椭圆C的方程是+=1.(2)若直线l垂直于x轴,则点E(0,2),F(0,-2),·=-8.若直线l不垂直于x轴,不妨设l过该椭圆的上焦点,则l的方程为y=kx+2,设点E(x1,y1),F(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,则x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=-8,因
12、为0<≤10,所以-8<·≤2,所以·的取值范围是[-8,2].4.(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与直线ax+2by-ab=0相切.(1)求椭圆C的离心率e;(2)如图,过F1作直线l与椭圆分别交于P,Q两点,若△PQF2的周长为4,求·的最大值.解:(1)由题意知=c,则3a2b2=c2(a2+4b2),即3a2(a2-c2)=c2[a2+4(a2-c2)],所以a2=2c2,所以e=.(2)因为△PQF2的周长为4,所以4a=4,即a=.由(1)知b2=c2=1,故椭圆方程为+y2=1,且焦点F1(-1,
13、0),F2(1,0).①若直线l的斜率不存在,则可得l⊥x轴,方程为x=-1,P,Q,=,=,故·=.②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),由消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=(k2+1)+(k2-1)+k2+1==-,令t=2(2k2+1),则·=-(t>2),所以·∈.结合①②,得·∈,所以·的最大值是.[综合题组练]1.(2019·高考
14、全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;(ⅱ)求△PQG面积的最大值.解:(1)由题设得·=-,化简得+=1(
15、x
16、≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(ⅰ)证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,
17、方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.(ⅱ)由(ⅰ)得
18、PQ
19、=2u,
20、PG
21、=,所以△PQG的面积S=
22、PQ
23、
24、PG
25、==.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时
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