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1、25.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN、（1）如图l,求证：PC=AN；（2）如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK：CF=2：3,求DQ的长、【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。∵P
2、Q⊥ABMN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。∴AN=PQ,AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。（2）∵NP=2PC=3,∴由（1）知PC=AN=3。10∴AP=NC=5,AC=8。∴AM=AP=5。∴。∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。∴。∵,∴BC=6。∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP
3、,∴△PNE∽△PCK。∴。∵CK：CF=2：3,设CK=2k,则CF=3k。∴,。过N作NT∥EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。∴NE=TF=,∴CT=CF－TF=3k－。∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴。∴,。∴CT=。∴。∴CK=2×=3,BK=BC－CK=3。10∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。∴。∴tan∠BDK=1。过K作KG⊥BD于G。∵tan∠BDK=1,tan∠ABC=,∴设GK=4n
4、,则BG=3n,GD=4n。∴BK=5n=3,∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。∵,AQ=4,∴BQ=AB－AQ=6。∴DQ=BQ－BD=6－。26.（2012湖北十堰10分）如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E、（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点,证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G（如图2）,求的值、27.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点（与B、C不重合）,连接AP,以AP为边向两侧作等边
5、△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。10（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。①若,BM=,求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）,当x取何值时,∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。28.（2012福建三明14分）在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B）,∠BPE＝∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交
6、AC于点G、（1）当点P与点C重合时（如图①）、求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：=▲,并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变（如图③）,若∠ACB=α,求的值、（用含α的式子表示）（5分）1029.（2012辽宁沈阳12分）已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点（点A,B不与点O重合）,且AB=,在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上；（3）如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOB
7、P的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围、30.（2012辽宁大连12分）如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝2∠BCD＝2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A. （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)； （2）当AB＝AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想；10 （3）当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE＞AB,AB＝mDE,AD＝nDE
