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1、芜湖一中周冬max_zd@163.com两极相通——浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用引入我们在信息学竞赛中经常会遇到一些涉及一个最大化问题和一个最小化问题的定理怎样利用这些定理帮助我们解题呢？König定理最大流—最小割定理König定理主要内容在任何一个二部图G中，最大匹配数r(G)等于最小覆盖数c(G)König定理证明最大匹配数不超过最小覆盖数任取一个最小覆盖Q，一定可以构造出一个与之大小相等的匹配Mr(G)≤c(G)r(G)=c(G)c(G)≤
2、Q
3、=
4、M
5、≤r(G)c(G)≤r(G)
6、König定理应用二部图最小覆盖和最大匹配的互相转化[例一]MuddyFields最大流—最小割定理近年来，网络流尤其是最大流问题越来越多的出现在各类信息学竞赛当中最大流—最小割定理是整个最大流问题的基础与核心，其主要内容是：最大流的流量不超过最小割的容量存在一个流x和一个割c，且x的流量等于c的容量[例二]MovingtheHay一个牧场由R*C个格子组成牧场内有N条干草运输通道，每条连接两个水平或垂直相邻的方格，最大运输量为Li(1,1)内有很多干草，FarmerJohn希望将最多的干草运送到(
7、R,C)内求最大运输量[例二]MovingtheHay一个R=C=3的例子，最大运输量为7数据规模：R,C≤200(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)5,53,25,52,21,16,64,17,6(3,1)分析直接求最大流以每个方格为点，每条通道为边，边的容量就是它的最大运输量从(1,1)到(R,C)的最大运输量就是将这两个方格对应的点分别作为流网络中的源和汇求出的最大流量效率？？？点数最大40000，边数最大80000！TimeLimitExceede
8、d!!!分析效率低下的原因没有利用题目的特点，直接套用经典算法特点题目中给出的是一个平面图图中的一个点为源点s，另外一个点为汇点t，且s和t都在图中的无界面的边界上分析452316f1f2f3f4分析效率低下的原因没有利用题目的特点，直接套用经典算法特点题目中给出的是一个平面图图中的一个点为源点s，另外一个点为汇点t，且s和t都在图中的无界面的边界上我们称这样的平面图为s-t平面图平面图的性质平面图性质（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2每个平面图G都有一个与
9、其对偶的平面图G*G*中的每个点对应G中的一个面对偶图举例4523161*2*3*4*平面图的性质平面图性质（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*G*中的每个点对应G中的一个面对于G中的每条边ee属于两个面f1、f2，加入边(f1*，f2*)对偶图举例4523161*2*3*4*平面图的性质平面图性质（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*G*中的
10、每个点对应G中的一个面对于G中的每条边ee属于两个面f1、f2，加入边(f1*，f2*)e只属于一个面f，加入回边(f*，f*)对偶图举例4523161*2*3*4*平面图与其对偶图的关系平面图G与其对偶图G*之间存在怎样的关系呢？G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数，G与G*边数相同G*中的环对应G中的割一一对应4523161*2*3*4*s-t平面图上最大流的快速求法如何利用这些性质？直接求解仍然困难利用最大流—最小割定理转化模型根据平面图与其对偶图的关系，想办法求出最小割利用最短路求
11、最小割对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改造：连接s和t，得到一个附加面对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改造：求该图的对偶图G*，令附加面对应的点为s*，无界面对应的点为t*对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改造：删去s*和t*之间的边123456781*3*2*4*5*7*6*8*sts*t*利用最短路求最小割一条从s*到t*的路径，就对应了一个s-t割！更进一步，如果我们令每条边的长度等于它的容量，那么最小割的容量就等于最短路的长度！分析一下时间复杂度新图中的点数和边数都是O(n)
12、的使用二叉堆优化的Dijkstra算法求最短路，时间复杂度为O(nlog2n)123456781*3*2*4*5*7*6*8*sts*t*利用最短路求最大流我们可以利用最短路算法得到的距离标号构造一个最大流[定理2.1]可以在O(nlog2n)的时间内求出s-t平面图上的最大流。小结回顾得到简单的最大流模型利用最大流—最小割定理进行模型转化根据平面图的性质解决最小割问题构造得到最大流最大—最小定理对比以上两个定理[定义3.1]最大—最小定理是一类描述同一个对象上的一个
