2019_2020学年高中数学第3章不等式3.1基本不等式教案北师大版必修5

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1、3.1　基本不等式学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)1.通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养．2．通过基本不等式的应用，提升数学运算素养.1．基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．(1)基本不等式如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．(2)基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它

2、们的几何平均数．(3)意义①几何意义：半径不小于半弦．②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．思考：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？[提示]　成立，证明如下：由a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知a2＋b2≥2ab．(2)设x＞0，y＞0，比较＋和的大小．[提示]　在不等式a＋b≥2中令a＝，b＝可得＋≥.2．基本不等式的证明一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替a，b可得a＋b≥2，通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)．下面我们来证明一下：

3、要证　≥，①只要证　a＋b≥2，②要证②只要证a＋b－2≥0，③要证③只要证(－)2≥0，④显然④成立，当且仅当a＝b时④中的等号成立．1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)A．1个　B．2个C．3个D．4个C　[当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．]2．不等式x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是________．x＝4　[由a＋b≥2(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是a＝b知x＝4.]3．比较大小：________x.≥　[在不等式≥ab中令a＝x，b＝，可得≥x，当x＝

4、时等号成立．]4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是________．　[由题意知，当x>0时，ƒ(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1⇒a≥.]利用基本不等式比较大小【例1】　已知00，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2.又因为0

5、注意不等式的双向性．①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤2；②从右到左：常使用a＋b≥2.(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．1．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．[解]　因为a>0，b>0，所以＋≥；即≥(当且仅当a＝b时取等号)，又2＝≤＝，所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)，而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)．用基本不等式证明不等式【例2】　已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.[证明]　(1)∵x，

6、y都是正数，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．利用基本不等式证明不等式的注意点(1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立．(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式．2．已知a，

7、b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．[证明]　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc．当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．基本不等式≥的几何解释[探究问题]1．如何用a，b表示PQ、OP的长度？[提示]　由射影定理可知PQ＝，而OP＝AB＝.2．通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？[提示]　半径OP＝，显然，它大于或等于PQ，即≥，其中当且仅当点Q与圆心O重合．如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一