2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制讲义新人教A版

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1、5.1.2　弧度制知识点一　度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad　正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化知识点二　弧度数的计算(1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径

2、为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝.知识点三　角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°度数×＝弧度数弧度数×°＝度数　角度制与弧度制换算公式的理解(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．知识点四　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)

5、弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝lR＝α·R2.[教材解难]弧长公式、扇形的面积公式的应用．①运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制；②在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：l＝

6、α

7、R，

8、α

9、＝，R＝.S＝

10、α

11、R2，

12、α

13、＝.[基础自测]1．下列各种说法中，错误的是(　　)A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的C．根据弧度的定义，180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的

14、半径大小无关，故选D.答案：D2．将864°化为弧度为(　　)A.　　B.C.D.π解析：864°＝864×＝，故选C.答案：C3．5弧度的角的终边所在的象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为π<5<2π，因此5弧度的角的终边在第四象限．答案：D4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.答案：25题型一　角度与弧度的换算[教材P173例4]例1　按照下列要求，把67°30′化成弧度：(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值．解析：(1)因为67°30′＝°，所以

15、67°30′＝×rad＝πrad.(2)利用计算器有1．178097245.因此，67°30′≈1.178rad.　角度与弧度的换算只要记住一个公式：＝.据此可推出n°＝n·rad，α　rad＝α·　°.教材反思进行角度制与弧度制的互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝rad和1rad＝°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝°；n°＝n·.提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将

16、分、秒化成度，再化成弧度．跟踪训练1　(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：α1＝－π，α2＝π，α3＝9，α4＝－855°.(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式：，－315°，－.解析：(1)α1＝－π＝－×180°≈－282.86°；α2＝π＝×180°＝15330°；α3＝9＝9×°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×＝－π.(2)＝4π＋；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋；－＝－2π＋.(1)180°＝πrad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．(2)表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，调整k使角在[0,

17、2π)内．题型二　用弧度制表示角的集合[经典例题]例2　已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．【解析】　(1)2005°＝2005×rad＝rad＝rad，又π<<，∴角α与终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，