2020届中考数学（真题版）专项练习：新定义与阅读理解题（含答案）

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1、新定义与阅读理解题1．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则

2、2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=，即3+32+33+34+…+310=；故答案为：；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，②–①得：（a–1）S=an+1–1，a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+…+a

3、n=.2．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若+=45，则x=__________；②若–=26，则y=__________；③若+=，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（

4、3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其

5、均可产生该黑洞数．解：（1）①∵=10m+n，∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则+一定能被11整除，∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴–一定能被9整除．∵•–mn=（10

6、m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴•–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，

7、4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．3．（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x1，y2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已