三元不等式的又一利器qpr变 换法

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三元对称不等式证明的“利器”—变换法王子康 安徽省马鞍山市第八初级中学 243000【摘要】 在初高中数学学习过程中,我们常常遇到含有,,等单项式的三元对称不等式,使用常规方法解这类不等式不但运算量大,而且步骤繁琐易错。运用特定字母替换这些单项式,则可以使得解题过程简洁明了,便于理解和运算。本文归纳介绍了一些基本性质和恒等变换,并从特例分析、运用技巧等方面就使用变换证明三元对称不等式进行了简要论述。【关键词】 初高中数学 变换 三元对称不等式在初高中数学的许多三元对称不等式中都含有,,等单项式,这一类不等式通常结构特征明显。使用变换法将不等式转换为含有、、的简化不等式来证明解决,不失为一种行之有效的解题技巧。下面就变换法的运用进行简要论述。1. 基本性质 通常,我们采用下列变量变换: ,,。原不等式变换为。显而易见,对应的是“算术均值”;对应的是“积均值”;对应的是“几何均值”。 这样做的好处是可以降低不等式的次数。这样我们很容易看出其满足的不等式关系,特别地当次数小于等于5时效果是很明显的。这种证明不等式的方法称为变换法。在具体运用前,我们必须充分理解掌握这三者之间存在的基本性质以及几个恒等变换。若,设,,,则有以下基本性质:性质1. ,即:“算术均值”≥“积均值”≥“几何均值”。证明:均值不等式,得证。当且仅当时,等号成立。性质2. 证明:将舒尔不等式展开后,得得证。当且仅当时,等号成立。性质3. 证明:由性质1可知,,且,所以,得证。当且仅当时,等号成立。性质4. 证明:由性质1 可知:,所以,即,得证。当且仅当时,等号成立。性质5. 证明:由排序不等式可知:,得证。当且仅当时,等号成立。性质6. 证明:由性质3 和性质7 ,且,可知:,即,得证。当且仅当时,等号成立。性质7. 证明:由二元均值不等式可知:,同理,,三式相加,得,整理,得,得证。当且仅当时,等号成立。性质8. 证明:由性质5 ,且可知,比较性质2 ,两式相加,得,得证。当且仅当时,等号成立。性质9. 性质10. p2q≥3pr+2q2p4+3q2≥4p2qpq2≥2p2r+3qrq3+9r2≥4pqrp3r+q3≥6pqr2. 恒等变换 除上述性质以外,我们还需要用到以下“十八般武器”。通过替代变换,整理后可以得到以下几个经常用到的重要恒等变换(限于篇幅,转换过程从略,读者可以自行尝试),记住这些恒等变换对帮助我们更加高效地完成不等式的证明十分有益:恒等变换1. 恒等变换2. 恒等变换3. 恒等变换4.恒等变换5. 恒等变换6. 恒等变换7. 恒等变换8.恒等变换9.恒等变换10. 恒等变换11. 恒等变换12. 恒等变换13. 恒等变换14. 恒等变换15.恒等变换16. 恒等变换17.恒等变换18.恒等变换19.3. 技巧运用例1 已知正数且,求证:证:设,,,有,并将恒等变换7代入原式,得,整理,得,这就是性质8,所以原不等式成立。原不等式得证。例2 已知是互不相等的正数且。求证:证:原式,将其展开后,化简,得①设,,,有,代入①式,可得,就是性质3,所以不等式成立。原不等式得证。例3 已知为正实数,且,求证:。(《数学通讯》2017年第1,2期问题284)证:设,,,并将恒等变换11代入原式,可得①又,代入①式,得比较性质2,我们只需要证明,即可使原不等式成立。由性质4可知:原不等式得证。分析:例3出自文献[2]中,在这里给出的是本例的变换证法。这一类没有明显特征的不等式,我们可以进行适当地展开化简后形成含有,,等多项式的特殊不等式,再运用变换法使不等式的证明过程得到简化。例4 已知正数且,求证: 证:设,,,有,并将恒等变换1、2代入原式,可得就是性质2。原不等式得证。例5 已知且,求证: (Kyiv Mathematical Festival 2016)证:将原式通分后展开,得①, 设,,,则②,将恒等变换4和5代入①式,得,整理化简,得,将,代入并整理,得比较性质3,我们只要证明,即可使上式成立。即证③由性质1和②式,可知,所以,我们只需要证明,明显,所以③式成立。原不等式得证。分析:在进行变换法证明不等式时,我们要善于将结果与已知条件或基本性质作比对分析,通过作差或配项、配系数等方法,从中发现进行下一步证明的途径和策略。例6 若三角形的三边为,求证:证:原式,将不等式展开并整理,得①设,,,分别代入①式,展开并整理,得比较性质2,我们只要证明,根据性质1,该式明显成立。原不等式得证。例7 为三角形的三边,且三边之和为1,求证证:已知为正数,且,设,,,原式,比较性质4,我们只需要证明①,即可使原不等式成立。由性质1和已知条件,可知:,所以,明显,所以不等式①成立。原不等式得证。分析:上面例6原题出自文[3],这里我们给出这些三角不等式的经典变换例证。变换法在求证一些与三角形的三边有关的不等式中也能发挥出意想不到的作用。例8 设,且,求证(2011年克罗地亚数学竞赛题)证:将原式变形为由柯西不等式可知:,我们只需要证明,原式即可成立。设,,,则①,并将恒等变换1、2、4代入上式,得,整理得,由性质1和①式,可知,所以我们只需要证明,即证明,明显成立。原不等式得证。分析:本题出自安振平老师文[4]中的例2,在本文中给出了综合运用变换与柯西不等式结合的新证法:利用柯西不等式对原式作适当变形后,再利用变换简化,并进行适当的缩放以后一举证明。这说明在一些不等式的证明中我们可以将多种证明方法有机地结合起来,可以更加便捷地解决问题。综述:变换法在证明这一类的三元不等式中有特别的效果,不失为一种简洁有效的证明办法。【参考文献】[1] 张艳宗.利用变换证一类不等式问题[J].中等数学,2014(6):10-11.[2] 宋庆.关于一些不等式的研究和讨论[J].中等数学研究,2012(12):19-20.[3] 张祖寅.轮换不等式的证明技巧[J].中学数学教学参考,2003(4):36-38.[4] 安振平.也谈不等式的应用[J].数学通讯,2013(3):39-40.
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