分式运算的几种技巧

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1、分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法2a例1计算：-a-1a-1【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.2222aaa(a+1)(a-1)a-(a+1)(a-1)1【解】-a-1=-(a+1)=-==a-1a-1a-1a-1a-1a-1二、先约分后通分法2x+1x-2x例2计算x2+3x+2+x2-4分析：直接通分，极其繁琐，

2、不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。x1x(x2)1xx1解：原式=(x1)(x2)+(x2)(x2)=x2+x2=x2三、分组加减法1221例3计算a2+a1-a1-a2分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。1122解：原式=（a2-a2）+（a1-a1）4412=22a24+a21=(a4)(a1)四、分离整数法x2x3x5x4例4计算x1x2x4x3方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通

3、分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。(x+1)+1(x+2)+1(x-4)-1(x-3)-1解：原式=-+-x+1x+2x-4x-31111=(1+)-(1+)+(1-)-(1-)x+1x+2x-4x-31111=--+x+1x+2x-4x-3=。。。五、逐项通分法3112x4x例5计算：2244axaxaxax分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。11248同类方法练习题：计算248x1x1x1x1x1六、裂项相消法1111例6计算：+++...+.a(a+1)(a+1)(a+2)(a+2)(a+3)(a+9)(

4、a+10)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若111a是整数），联想到=-，这样可抵消一些项.a(a+1)aa+111111111解：原式=(-)+(-)+(-)+...+(-)aa+1a+1a+2a+2a+3a+9a+101110=-=aa+10a(a+10)七、整体代入法112x5xy2y例7．已知+=5求的值xyx2xyy221152()5112x5xy2yyxxy2555解法1：∵+=5∴xy≠0,.所以====xyx2xyy111152722yxxy11xy解法2：由+=5得，=5,x+y=5xyxyxy2x5xy2y2(xy

5、)5xy25xy5xy5xy5∴====x2xyy(xy)2xy5xy2xy7xy7113x5xy3y练习：若=5，求的值．xyx3xyy八、公式变形法241例8．已知a-5a+1=0，计算a+4a1解：由已知条件可得a≠0,∴a+=5a4121212222∴a+=(a+)-2=[(a+)-2]-2=(5-2)-2=52742aaa221练习：（1）已知x+3x+1=0，求x+的值．2x九、设中间参数法bcacab(ab)(bc)(ca)例9．已知==，计算：abcabcbcacab解：设===k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；abc把这3个等式相加得2(a+b+c)=(a+b

6、+c)k若a+b+c=0，a+b=-c,则k=-1若a+b+c≠0，则k=2(ab)(bc)(ca)akbkck3==kabcabc当k=-1时，原式=-1当k=2时，原式=83xy练习：（1）已知实数x、y满足x:y=1:2，则__________。xyxyz2x3y4z（2）已知，则=_____________。4563z十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）2aa例10．已知=7，求的值242aa1aa12aa1118解：由条件知a≠0,∴=,即a+=a7a742aa1211215∴=a++1=(a+)-1=22aaa492a49∴=42aa11521a练习：已知a+=5．则4

7、2=__________.aaa1十一、特殊值法(选填题)abc例11.已知abc=1,则＋＋=_________.aba1bcb1cac1分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．解：令a=1，b=1，c=1，则111111原式=++=++=1.111111111111333说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．yzxzxy练