导数结合洛必达法则巧解高考压 轴题

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1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题第一部分：历届导数高考压轴题(全国2理)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．（全国1理）已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.（全国1理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国2理）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．（辽宁理）设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范

2、围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数=.（Ⅰ）若，求的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围.（新课标文）已知函数.7（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.（全国大纲理）设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.例题：若不等式对于恒成立，求的取值范围第二部分：泰勒展开式1.其中；2.其中；3.，其中；4.，其中；7第三部分：洛必达法则及其解法洛必达

3、法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；（3）（可为实数，也可以是）.则.1.（新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.常规解法（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，，可得；当时，，可得，从而当且时，，即；（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.（iii）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种

4、情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.7洛必达法则解法当，且时，，即，也即，记，，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调

5、性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.2.（新课标理）设函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.①当时，；②当时，等价于.记，则.记，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，所以当时，所以，因此.7综上所述，当且时，成立.例题：若不等式对于恒成立，求的取

6、值范围.应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“”型式子.（海南宁夏文）已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数当时，，即.①当时，

7、；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.7由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.（全国大纲理）设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是.（

8、全国2理）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）．7当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.7