2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法讲义新人教B版

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1、3.2.2　复数的乘法3.2.3　复数的除法学习目标核心素养1．理解复数的乘除运算法则.2．会进行复数的乘除运算．(重点)3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.一、复数的乘法及其运算律1．定义(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝

2、z1·z2＋z1·z33．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．4．i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1．二、复数的除法法则1．已知z＝a＋bi，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作，则＝－i且＝.2．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝＋i.1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)A．1＋i　　　　　B．1－iC．－1＋iD．－1－i[解析]　＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i，故选B.[答案]　B2．已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的

3、虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.[解析]　z1＝(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.[答案]　4＋2i3．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．[解析]　∵i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.[答案]　2复数代数形式的乘法运算【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)A．5－4i　　　　　　　

4、B．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)A．－2－3i　　　　　　B．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.[解析]　(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴＝2－3i.故选C.(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.[答案]　(1)D　(2)C　(3)5－5i1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将

5、i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．若

6、z1

7、＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.[解析]　设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则

8、z1

9、＝＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.∵z1·z2是纯虚数．∴解得或∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.[答案]　4＋3i或－4－3i复数代数形

10、式的除法运算【例2】　＝(　　)A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)i是虚数单位，复数＝(　　)A．1－iB．－1＋iC.＋iD．－＋i[解析]　(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D.法二：＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．(2)＝＝＝1－i，故选A.[答案]　(1)D　(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的

11、复数z＝(　　)A.＋i　　　B.－iC．－＋iD．－－i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则

12、z

13、＝(　　)A．1　　　　　　　B．2C.D.[解析]　(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝＝＝＝－i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，∴

14、z

15、＝＝.[答案]　(1)B　(2)Cin的周期性及应用[探究问题]1．i5与i是否相等？提示：i5＝i4·i＝i，相等．2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.【例3】　计算i1＋i2＋i3＋…＋i2020.[思路探究]　本题中需求多个in和

16、的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性