高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质不等关系与不等式讲义新人教A版

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1、第1课时　不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.通过大小比较，培养逻辑推理素养.1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过

2、40吨，用不等式表示为(　　)A．T<40　　B．T>40　　C．T≤40　　D．T≥40C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为(　　)A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA　[v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A.]3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么

3、t应满足的关系式是________．4．5t<28000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.]4．设M＝a2，N＝－a－1，则M、N的大小关系为________．M＞N　[M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0，∴M＞N.]用不等式(组)表示不等关系【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解]　设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3.v1、v2的

4、关系：2v1＋100≤v2，v1、v3的关系：v1＞3v3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0

5、的不等关系可用不等式表示为比较两数(式)的大小【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝

6、1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋.∵2≥0，∴2＋≥＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.不等关系的实际应用【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根

7、据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.因为y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x，当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果

8、户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集