2017_18学年高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法学案

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1、3．3　一元二次不等式及其解法[学习目标]　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养数形结合、分类讨论思想方法．[知识链接]下列说法不正确的有________．(1)方程2x2－3x－2＝0有两个不等的实根；(2)方程x2－2x＋1＝0有一个实数根；(3)方程x2－x＋2＝0没有实数根；(4)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c>0恒成立⇔(5)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c<0恒成立⇔答案　(2)(5)解析　(1)由于Δ>0，故正确；(2)由于Δ＝

2、0，所以方程有两个相等实根，故错误；(3)由于Δ<0，故正确；(4)由于y>0，所以函数的图象在x轴上方，故正确；(5)由于y<0，所以函数的图象在x轴下方，则a<0，b2－4ac<0，故(5)错误．[预习导引]1．一元二次不等式的概念(1)一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系Δ＝b2－4acΔ>0

3、Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x

4、xx2}{x

5、x≠－}R5ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

6、x10(a>0)的解集为{x

7、xx2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x

8、x1

9、}.要点一　一元二次不等式的解法例1　求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.解　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x

10、x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，方程(2x－1)2＝0的根为x＝.∴4x2－4x＋1≤0的解集为{x

11、x＝}．(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x

12、＋6<0的解集为{x

13、10；(2)－x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解　(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.5(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝

14、62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x

15、－1≤x≤5}．要点二　解含参数的一元二次不等式例2　解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0(a∈R)．解　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4

16、x∈R，且x≠1}；当a>4或a<

17、－4时，原不等式的解集为{x

18、x<(－a－)或x>(－a＋)}；当a＝4时，原不等式的解集为{x

19、x∈R，且x≠－1}．规律方法　含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．跟踪演练2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．解　若a＝0，原不

20、等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，解(x－)(x－1)<0得，解集为∅；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得1，解(x－)(x－1)<0得1

21、x<或x>1}；当a＝0时，解集为{x

22、x>1}；当0