2017_18版高中数学第1章导数及其应用1.1.1平均变化率学案苏教版选修

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1、1．1.1　平均变化率学习目标　1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义．知识点　函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？　　思考2　怎样用数量刻画弯曲山

2、路的陡峭程度？　　思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？　7　函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：______的增量与________增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的______．类型一　求函数在某区间内的平均变化率例1　(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．(2

3、)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．　　　　反思与感悟　求函数平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)求平均变化率＝.跟踪训练1　分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率．　7　　　类型二　实际问题中的平均变化率例2　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(

4、1)求运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．　　　　反思与感悟　(1)综合物理知识可知，在第一个0.5s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．跟踪训练2　已知某物体运动位移与时间的关系s(t)＝gt

5、2，试分别计算t从3s到3.1s,3.001s各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？　　　类型三　平均变化率的应用例3　2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：7(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？　　　　反思与感悟　(1)本例中的(2)(3)可数形结合，利用

6、平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．(2)在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．跟踪训练3　甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图中①②所示，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？　　71．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝________.2．在雨季潮讯期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24h内发现水位从102.7m上涨到105.1m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.3．已

7、知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．4．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)　　　　　　　1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决

8、这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．提醒：完成作业　1.1.17答案精析问题导学知识点思考1　自变量x的改变量为x