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《2018届高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题5.3圆锥曲线中的定点定值与存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且
2、AB
3、=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点
4、与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究
5、OA
6、2+
7、OB
8、2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,
9、y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.〚导学号24190967〛6.(2017宁夏中卫一模,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知
10、AB
11、=
12、OF
13、,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否
14、存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.〚导学号24190968〛5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2.∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8,直线AC的方程为y-y2=-(x+x2).∵y
15、1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4ky-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2).∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8.令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,∴xB=,圆心E到AB的距离为1,∴yB=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-,联立方程消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.Δ=1
16、6k2+4×3(1+4k2)=12+64k2>0,∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-===-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).故直线MN'过定点(0,-2).3.解(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值.即有b·2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,则椭圆方程为=1.(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y
17、1),B(x2,y2),设圆(x-x0)2+(y-y0)2=3过原点的切线方程为y=kx,则有,整理得(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=.又因为=1,所以可求得k1k2==-,将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,得,则,同理可得,所以
18、OA
19、2+
20、OB
21、2====16.所以
22、OA
23、2+
24、OB
25、2的值为定值16.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径.所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点
