高等数学第1章 函数与极限

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1、高等数学教案第一章函数与极限第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价

2、无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断

3、点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。§1.1映射与函数一、集合1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aÎM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.42高等数学课程建设组高等数学教案第一章函数与极限例如A={a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A={a1,a2,×××,an},M={x

4、x具有性质P}.例如M={(x,y)

5、x,y为实数,

6、x2+y2=1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N={0,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xÎA,则必有xÎB,则称A是B的子集,记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA.如果集合A与集合B互为子集,AÌB且BÌA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.若AÌB且A¹B,则称A是B

7、的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作Æ.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AÈB,即AÈB={x

8、xÎA或xÎB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AÇB,即AÇB={x

9、xÎA且xÎB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作AB,即AB={x

10、xÎA且xÏB}.如果我们研究某个问题限定在

11、一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称IA为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律AÈB=BÈA,AÇB=BÇA;(2)结合律(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);(3)分配律(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);(4)对偶律(AÈB)C=ACÇBC,(AÇB)C=ACÈBC.(AÈB)C=ACÇBC的证明:42高等数学课程建设组高等数学教案第一章函数与极限xÎ(

12、AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎAC且xÎBCÛxÎACÇBC,所以(AÈB)C=ACÇBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A´B,即A´B={(x,y)

13、xÎA且yÎB}.例如,R´R={(x,y)

14、xÎR且yÎR}即为xOy面上全体点的集合,R´R常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a

15、a

16、a,b)={x

17、a

18、a£x£b}称为闭区间,[a,b)={x

19、a£x

20、a