高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系教案

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1、2.3.3直线与圆的位置关系示范教案教学分析　　　　　教材通过两个例题介绍了用代数方法研究直线和圆的位置关系，值得注意的是在教学中要引导学生对比例1的两种解法，使学生真正体会到解法2(几何法)的简便．三维目标　　　　　1．掌握直线与圆的位置关系及其判定方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．能解决与直线和圆的位置关系有关的问题，培养学生数形结合的数学思想．重点难点　　　　　教学重点：直线与圆的位置关系．教学难点：求圆的切线方程．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.我们已经学习了直线、圆的方程，那么如何用方程来讨论直线与圆的位置关

2、系呢？教师点出课题．设计2.早晨起来，站在海边上向东方观看：太阳从海平面上缓缓升起．如果把远处的海平面抽象成直线，把太阳抽象成圆，那么其中呈现直线与圆的什么位置关系？今天，我们用方程来讨论，教师点出课题．推进新课　　　　　讨论结果：(1)相离、相切、相交．如下图所示．(2)方法一：根据公共点的个数方法二：根据圆心到直线距离d与半径r的大小关系．如下表所示：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系相交两个dr(3)方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组解的个数；方法二

3、，可以依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系．思路1例1已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线方程是y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法一：所求曲线公共点问题可转化为b为何值时，方程组有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．②代入①，整理，得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实

4、数解，因此直线与圆只有一个公共点；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点．以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如下图)．解法二：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．圆的半径r＝，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝.当d

5、b

6、＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r，

7、b

8、>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，

9、圆与直线无交点．点评：解法一称为代数法，解法二称为几何法．几何法是判定直线与圆的位置关系的最优解法．代数法步骤：①将直线方程与圆的方程联立成方程组；②利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程；③求出其判别式Δ的值；④比较Δ与0的大小关系，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离．几何法步骤：9①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径；②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；③作判断：当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d

10、)2＝1的位置关系：(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.　解：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.(1)点C到直线x－y－2＝0的距离为d1＝＝.又r＝1，所以d1>r，可知直线与圆相离．(2)点C到直线x＋2y－1＝0的距离为d2＝＝＝.因为d2

11、M(x0，y0)在圆上，所以x＋y＝r2.所以，过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.如果x0＝0或y0＝0，我们容易验证，过点M(x0，y0)的切线方程也可以表示为x0x＋y0y＝r2的形式．因此，所求的切线方程为x0x＋y0y＝r2.解法二：设P(x，y)为所求切线上的任意一点，当P与M不重合时，△OPM为直角三角形，OP为斜边，所以OP2＝OM2＋MP2，即x2＋y2＝x＋y＋(x－x0)2＋(y－y0)2.整理得x0x＋y0y＝r2.可以验证，当P与M重合时同样适合上式，故所求的切线方程是x0x＋y

12、0y＝r2.9解法三：设P(x，y)为所求切线上的任意一点，当点M不在坐标轴上时，由OM⊥MP得kOM·kMP＝－1，即·＝－1，整理得