高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第2讲数列的求和问题专题突破讲义文

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1、第2讲　数列的求和问题高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一　分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1　(2017届安徽省合肥市模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)∵{an}为等差数列，∴⇒⇒an＝2n＋

2、1.(2)∵＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2·4n＋(－1)n·(2n＋1)，∴Tn＝2(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋Gn，当n＝2k(k∈N*)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝＋n，当n＝2k－1(k∈N*)时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，∴Tn＝－n－2，∴Tn＝思维升华　在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组

3、求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1　(2017届北京市朝阳区二模)已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列．设．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)设cn＝an＋b2n，求数列{cn}的前n项和Tn.(1)证明　由已知得an＝·n－1＝n，所以，则bn＋1－bn＝2(n＋1)－1－2n＋1＝2.所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解　由(1)知，b2n＝4n－1，则数列{b2n}是以3为首项，4为公差

4、的等差数列．cn＝an＋b2n＝n＋4n－1，则Tn＝＋＋…＋n＋3＋7＋…＋(4n－1)＝＋.即Tn＝2n2＋n＋－·n(n∈N*)．热点二　错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例2　(2017·河南省夏邑一高模拟)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求Tn＝a

5、1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，由条件得方程组解得故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)．(2)Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n－1)×2n＋1，②①—②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝3×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－2－(3n－1)×2n＋1＝3

6、×－2－(3n－1)×2n＋1＝(4－3n)2n＋1－8，∴Tn＝8＋(3n－4)·2n＋1.思维升华　(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．跟踪演练2　(2017·江西省赣州市十四县(市)联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝7，a3为整数，且Sn的最大值为S5.(1)求{an}的通

7、项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由a2＝7，a3为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S5，故a5≥0，a6≤0，解得－≤d≤－，因此d＝－2，数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(2)因为bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②由②－①，得－Tn＝－＋2－1＋，整理得－Tn＝－＋，因此Tn＝7＋(n∈N*)．热点三　裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差

8、数列)等形式的数列求和．例3　(2017届湖南省郴州市质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，a3＝3，且λSn＝anan＋1，在等比数列{bn}中，b1＝2λ，b3＝a15＋1.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}的前n项和为Tn(n∈N*)，且cn＝1，求Tn.解　(1)∵λSn＝anan＋1，a3＝3，∴λ