2017年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案

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1、[键入文字][键入文字][键入文字]说明：2017年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准[键入文字][键入文字][键入文字]1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在DABC中，AB=AC，I为DABC的内心．以A为圆心，AB为半径作圆G1，以I为圆心，IB为半径作圆G2，过点B、I的圆AIBPCQRG3与G1、G2分别交于点P、Q（不同于点B）．

2、设IP与BQ交于点R．证明：BR^CR．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：连接IB，IC，IQ，PB，PC．由于点Q在圆G2上，故IB=IQ，所以ÐIBQ=ÐIQB．又B，I，P，Q四点共圆，所以ÐIQB=ÐIPB，于是ÐIBQ=ÐIPB，故DIBP∽DIRB，从而有ÐIRB=ÐIBP，且IB=IP．…………………10分IRIB注意到AB=AC，且I为DABC的内心，故IB=IC，所以IC=IP，IRIC于是DICP∽DIRC，故ÐIRC=ÐICP．…………………20分又点P在圆G的弧BC上，故ÐBPC=180o-1ÐA，因此12ÐBRC=Ð

3、IRB+ÐIRC=ÐIBP+ÐICP=360o-ÐBIC-ÐBPC=360o-æ90o+1ÐAö-æ180o-1ÐAöç2÷ç2÷èøèø=90o，故BR^CR．…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]二、（本题满分40分）设数列{an}定义为a1=1，[键入文字][键入文字][键入文字]a=ìan+n,若an£n,n=1,2,L．[键入文字][键入文字][键入文字]n+1ía-n,若a>n,înn2017求满足ar

4、t=1,L,r-1，有[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2t-1=2r+t-1>r+2t-1,对t归纳证明．ar+2t=r-tr+1，[键入文字][键入文字][键入文字]ar+2=ar+1-(r+1)=2r-(r+1)=r-1r+2t+1，ar+2t+2=ar+2t+1-(r+2t

5、+1)=2r+t-(r+2t+1)=r-t-1

6、2017中满足a=r的数r[键入文字][键入文字][键入文字]2018222019r[键入文字][键入文字][键入文字]共有2018个，为r1,r2,L,r2018．…………………30分由①可知，对每个k=1,2,L,2017中恰有一半满足[键入文字][键入文字][键入文字]arr，偶数均满足ar

7、入文字][键入文字][键入文字]1(3201720173-2019--=20181)．…………………40分[键入文字][键入文字][键入文字]22三、（本题满分50分）将33´33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即L=56．…………10分[键入文字][键入文字][键入文字]1617171611111133下面证明

8、L³56．将方格纸的行从上至下依次记为A1,A2,L,A33，列从左至右依次记为B1,B2,L,B33．行Ai中方格出现的颜色数记为n(Ai)，列Bi中方格出现的颜