伽罗华理论 丁伟岳北大院士

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1、伽罗华理论丁伟岳北大院士∗PKU2007伽罗华理论是代数学的一个重要组成部分,它的产生源于一个古老的问题,即代数方程的求解问题.1求解代数方程n次代数方程就是多项式方程nn1anx+an1x+···+a1x+a0=0其中的系数属于给定的一个“数域”,且an̸=0.由于在古代这些系数总是整数,我们假定的数域是有理数域,记为Q.据说早在公元前1500年,居住在两河流域的巴比伦人就知道如何利用配方法来解2次方程.他们把问题和解法刻在湿的粘土上,然后晒干,形成“土版文书”.如我们在中学学到的,方程2ax+bx+c=0

2、,的解是√−b±b2−4acx=.2a人们自然希望对于3次和更高次的代数方程能找到类似的求解公式.然而,经过了大约3000年,这个问题仍毫无进展.大约在1500年前后,意大利数学家Ferro发现了3次方程3x+px+q=0,(1)RevisedbyVanAbel:van141.abel@gmail.com12LAGRANGE的研究2(p,q都是自然数,负数在当时还不被接受,大约在100年后才被普遍接受.)但是按照当时通常的做法,Ferro对他的解法秘而不宣,作为向对手挑战的法宝.后来,一位被叫做Tartagli

3、a(口吃者)的意大利数学家发现了更多类型的3次方程的解法,战胜了Fior的挑战.在另一位数学家Cardan的恳求下,Tartaglia透露了他的解法,但没有提供证明,并提出条件是必须保密.然而Cartan没有信守承诺,在他写的一本书里公布了Tartaglia的解法,同时给出了他自己的证明.他的证明如下:假设(1)的解x=u+v,那么代入方程得到33u+v+(3uv+p)(u+v)+q=0.由于u,v可变动(相对于给定的方程),不妨假设3uv+p=0.这样方程进一步转化为如下方程组33333u+v=−q,uv=−(

4、p/3).明显地,这已经转化为一个二次方程.直接求解得出√√qq2q3qq2q333u=−++,v=−−+.24272427注意到,尽管u,v可以交换顺序,但是将其代入x=u+v将得到同一个根.为了得到另外的两个根,必须允许开3次方可取复数值.在Cartan的书中也发表了一些4次方程的解法,基本上类似于上述解法,即寻求好的“变量替换”,用新的未知数代替原来的未知数,使得心的未知数满足的方程是可以解出的.2Lagrange的研究1770–1771年,拉格朗日发表了长篇论文“关于方程的代数解法的思考”,对代数方程的求

5、解问题进行了深入研究.他的想法是:对于3次和4次方程的已知解法做深入分析,以求对高次方程的求解问题有所启发—期以找出一般的求解方法.这是典型的从特殊到一般的归纳思维,但其实现并不是轻而易举的,需要有过人的观察和分析能力.拉格朗日考察了3次方程解法.对于一般的3次方程32x+ax+bx+c=0,2LAGRANGE的研究3总可以通过配3次方消掉x2项.所以只需要考虑如下的方程,不失一般性设为3x+px+q=0.这个方程可以通过如下方法解出:首先,令p3x=y−,(2)3y得到关于y的方程p363y+qy−=0.(3)

6、27再令3r=y,导出p32r+qr−=0.27这是2次方程,所以可以解出它的两个根r1和r2.这样只要解出33y=r1,y=r2,(4)再把y的值代入(2),便得到原方程的根.到此为止,拉格朗日只是总结归纳了前人对于3次方程的解法,给出了一个统一的处理方法;还没用看出这种方法含有什么一般性的东西.这时他注意到:只要r1̸=r2,(4)给出了方程(3)的6个不同的根,但是把这6个不同的数代入(2)以后只得出3个不同的值,因为3次方程只能有3个根.(3)的六个根分别是√√√√√√y=3r,3rω,3rω2,3r,3

7、rω,3rω2.111222其中i22π2πω=e3=cos+isin,33是3次单位根.代入(2)得到原方程的3个根√√√√√√x=3r+3r,3rω+3rω2,3rω2+3rω.121212拉格朗日的过人之处在于他进一步发现:(3)的根可以用原方程的根表示为12y=(x1+x2ω+x3ω).(5)33RUFFINI-ABEL定理4其中x1,x2,x3表示原方程的3个不同的根.由于对于3个数的不同排列方式一共有6种,(5)式给出了方程(3)的所有6个根.改变一组有序的数的顺序叫做“置换”.比如,把(1,2,3

8、)换为(3,2,1),如果用数学记号来描述,这个置换就是σ(1)=3,σ(2)=2,σ(3)=1.一般而言,给定一个集合S={a1,a2,···,an},在此集合上的一个置换就是一个一一对应σ:S→S.所有的置换构成的集合是一个群(Group),叫做S的“对称群”,记为Sn.在拉格朗日的时代还没有群的概念,但他发现了:跟到置换在求解代数方程中的作用.用现代的语言讲,313