2019_2020学年高中数学第2讲参数方程1曲线的参数方程第1课时参数方程的概念圆的参数方程学案新人教A版

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1、第1课时　参数方程的概念　圆的参数方程学习目标：1.了解曲线的参数方程的概念与特点.2.理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3.运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)教材整理1　参数方程的概念阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接

2、给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．方程(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的(　　)A．(1,1)　　　　　　B.C.D.[解析]　将点的坐标代入方程：，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．[答案]　C教材整理2　圆的参数方程阅读教材P23～P24“思考”及以上部分，完成下列问题．1．如图，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方

3、程：普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)圆的参数方程为：(θ为参数)，则圆的圆心坐标为(　　)A．(0,2)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(2,0)[解析]　圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，故圆心坐标为(2,0)．[答案]　D参数方程的概念【例1】　已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？[思路探究]　(1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；(2)要判

4、断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．[自主解答]　(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.(2)由上述可得，曲线C的参数方程是把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．点与曲线的位置关系：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若

5、点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在．1．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A(2,0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解]　把点A(2,0)的坐标代入得cosθ＝1且sinθ＝0，由于0≤θ<2π

6、，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.同理，把B代入参数方程，得∴又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B在曲线C上，对应θ＝π.求曲线的参数方程【例2】　已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．[思路探究]　先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．[自主解答]　如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM＝π－θ，∴即为所求．求曲线的参数方程的方法步骤：(1)建

7、立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；(2)写出适合条件的点M的集合；(3)用坐标表示集合，列出方程；(4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？[解]　如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM＝－θ，∴即为所求．圆的参数方程[探

8、究问题]1．当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？[提示]　如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.